SGK Toán 10 - Cánh Diều
Giải SGK bài Toạ độ của Vectơ Toán 10 Cánh diều tập 2
Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ giải đáp những câu hỏi và bài tập trong bài Toạ độ của Vectơ. Đây là bài học thuộc Bài 1 Chương VII trang 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66 sách Toán 10 Cánh diều tập 2. Hy vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày ở dưới.
Trả lời câu hỏi SGK bài Toạ độ của Vectơ Toán 10 Cánh diều tập 2
Dưới đây là lời giải chi tiết cho các câu hỏi hoạt động và luyện tập vận dụng trong bài Toạ độ của Vectơ.
Câu hỏi khởi động trang 60
Hình 1 minh hoạ hoạt động của một màn hình ra đa ở trạm kiểm soát không lưu của sân bay, đang theo dõi một máy bay hạ cánh. Máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa bởi một đốm sáng, kí hiệu là $M$. Dựa trên sự thay đổi của toạ độ vectơ $\overrightarrow{O M}$, trạm kiểm soát có thể xác định được đường bay của máy bay.
Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{O M}$ là gì?
Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{O M}$ là gì?
Lời giải chi tiết:
Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{O M}$ là tọa độ của điểm M (trong đó O là gốc tọa độ).
Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{O M}$ là tọa độ của điểm M (trong đó O là gốc tọa độ).
Luyện tập vận dụng 1 trang 62
Tìm toạ độ của các vectơ $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$ trong hình 11.
Lời giải chi tiết:
Ta vẽ vectơ $\overrightarrow{O A}=\vec{d}$ và $A(0 ; 2)$. Tọa độ $\overrightarrow{O A}$ chính là tọa độ của điểm $A$ nên $\vec{d}=(2 ; 2)$
Ta vẽ vectơ $\overrightarrow{O B}=\vec{c}$ và $A(-3 ; 0)$. Tọa độ $\overrightarrow{O B}$ chính là tọa độ của điểm $\mathrm{B}$ nên $\vec{c}=(-3 ; 0)$
Ta vẽ vectơ $\overrightarrow{O B}=\vec{c}$ và $A(-3 ; 0)$. Tọa độ $\overrightarrow{O B}$ chính là tọa độ của điểm $\mathrm{B}$ nên $\vec{c}=(-3 ; 0)$
Hoạt động 4 trang 63
Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho vectơ $\vec{u}=(a ; b)$. Ta chọn điểm $A$ sao cho $\overrightarrow{O A}=\vec{u}$.
Xét vectơ đơn vị $\vec{i}$ trên trục hoành $O x$ và vectơ đơn vị trên trục tung $O y$ (Hình 12).
a) Tìm hoành độ và tung độ của điểm $A$.
b) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{O H}$ qua vectơ $\vec{i}$.
c) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{O K}$ qua vectơ $\vec{j}$.
d) Chứng tỏ rằng $\vec{u}=a \vec{i}+b \vec{j}$.
Xét vectơ đơn vị $\vec{i}$ trên trục hoành $O x$ và vectơ đơn vị trên trục tung $O y$ (Hình 12).
a) Tìm hoành độ và tung độ của điểm $A$.
b) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{O H}$ qua vectơ $\vec{i}$.
c) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{O K}$ qua vectơ $\vec{j}$.
d) Chứng tỏ rằng $\vec{u}=a \vec{i}+b \vec{j}$.
Lời giải chi tiết:
a) Do $\overrightarrow{O A}=\vec{u}$ nên tọa độ vectơ $\overrightarrow{O A}=(a ; b)$. Vậy tọa độ điểm A là: $A(a ; b)$
b) Tọa độ điểm H là $H(a ; 0)$ nên $\overrightarrow{O H}=(a ; 0)$. Do đó, $\overrightarrow{O H}=a \vec{i}$
c) Tọa độ điểm K là $K(0 ; b)$ nên $\overrightarrow{O K}=(0 ; b)$. Do đó, $\overrightarrow{O K}=b \vec{j}$
d) Ta có: $\vec{u}=\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O H}+\overrightarrow{O K}=a \vec{i}+b \vec{j}$ ( ĐPCM )
a) Do $\overrightarrow{O A}=\vec{u}$ nên tọa độ vectơ $\overrightarrow{O A}=(a ; b)$. Vậy tọa độ điểm A là: $A(a ; b)$
b) Tọa độ điểm H là $H(a ; 0)$ nên $\overrightarrow{O H}=(a ; 0)$. Do đó, $\overrightarrow{O H}=a \vec{i}$
c) Tọa độ điểm K là $K(0 ; b)$ nên $\overrightarrow{O K}=(0 ; b)$. Do đó, $\overrightarrow{O K}=b \vec{j}$
d) Ta có: $\vec{u}=\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O H}+\overrightarrow{O K}=a \vec{i}+b \vec{j}$ ( ĐPCM )
Luyện tập vận dụng 2 trang 63
Trong mặt phẳng tọa độ $\mathrm{Oxy}$, cho điểm $\mathrm{B}(-1 ; 0)$ và vectơ $\vec{v}=(0 ;-7)$
a) Biểu diễn vectơ $\vec{v}$ qua hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$
b) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{O B}$ qua hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$
a) Biểu diễn vectơ $\vec{v}$ qua hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$
b) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{O B}$ qua hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$
Lời giải chi tiết:
a) Vì $\vec{v}=(0 ;-7)$ nên $\vec{v}=0 \vec{i}+(-7) \vec{j}=-7 \vec{j}$
b) Vì B có tọa độ là $(-1 ; 0)$ nên $\overrightarrow{O B}=(-1 ; 0)$. Do đó: $\overrightarrow{O B}=(-1) \vec{i}+0 \vec{j}=-\vec{i}$
a) Vì $\vec{v}=(0 ;-7)$ nên $\vec{v}=0 \vec{i}+(-7) \vec{j}=-7 \vec{j}$
b) Vì B có tọa độ là $(-1 ; 0)$ nên $\overrightarrow{O B}=(-1 ; 0)$. Do đó: $\overrightarrow{O B}=(-1) \vec{i}+0 \vec{j}=-\vec{i}$
Hoạt động 5 trang 64
Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho hai điểm $A, B$
a) Tìm hoành độ $x_{A}$ và tung độ $y_{A}$ của điểm $A$; hoành độ $x_{B}$ và tung độ $y_{B}$ của điểm $B$.
b) Tìm điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{A B}$. Từ đó, tìm hoành độ $a$ và tung độ $b$ của vectơ $\overrightarrow{A B}$.
c) So sánh: $x_{B}-x_{A}$ và $a ; y_{B}-y_{A}$ và $b$.
a) Tìm hoành độ $x_{A}$ và tung độ $y_{A}$ của điểm $A$; hoành độ $x_{B}$ và tung độ $y_{B}$ của điểm $B$.
b) Tìm điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{A B}$. Từ đó, tìm hoành độ $a$ và tung độ $b$ của vectơ $\overrightarrow{A B}$.
c) So sánh: $x_{B}-x_{A}$ và $a ; y_{B}-y_{A}$ và $b$.
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào hình vẽ, ta có: $x_A=2, y_A=2$ và $x_B=4, y_B=3$
b) Để $\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{A B}$ thì điểm $\mathrm{M}$ phải có tọa độ: $M(1 ; 2)$.
Do đó, toạn độ của vectơ $\overrightarrow{A B}$ là $\overrightarrow{A B}=(2 ; 1)$
c) Do $\overrightarrow{A B}=(2 ; 1)$ nên $a=2, b=1$
Ta có: $x_B-x_A=4-2=2, y_B-y_A=3-2=1$
Vậy $x_B-x_A=a$ và $y_B-y_A=b$
a) Dựa vào hình vẽ, ta có: $x_A=2, y_A=2$ và $x_B=4, y_B=3$
b) Để $\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{A B}$ thì điểm $\mathrm{M}$ phải có tọa độ: $M(1 ; 2)$.
Do đó, toạn độ của vectơ $\overrightarrow{A B}$ là $\overrightarrow{A B}=(2 ; 1)$
c) Do $\overrightarrow{A B}=(2 ; 1)$ nên $a=2, b=1$
Ta có: $x_B-x_A=4-2=2, y_B-y_A=3-2=1$
Vậy $x_B-x_A=a$ và $y_B-y_A=b$
Luyện tập vận dụng 3 trang 64
Trong mặt phẳng tọa độ $\mathrm{Oxy}$, cho các điểm: $\mathrm{A}(1 ; 3) \quad \mathrm{B}(5 ;-1) \quad \mathrm{C}(2 ;-2) \quad \mathrm{D}(-2 ; 2)$
Chứng minh : $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$
Chứng minh : $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\overrightarrow{A B}=\left(x_B-x_A ; y_B-y_A\right)=(4 ;-4)$ và $\overrightarrow{D C}=\left(x_C-x_D ; y_C-y_D\right)=(4 ;-4)$
Vậy $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}=(4:-4)$
Ta có: $\overrightarrow{A B}=\left(x_B-x_A ; y_B-y_A\right)=(4 ;-4)$ và $\overrightarrow{D C}=\left(x_C-x_D ; y_C-y_D\right)=(4 ;-4)$
Vậy $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}=(4:-4)$
Giải bài tập SGK bài Toạ độ của Vectơ Toán 10 Cánh diều tập 2
Sau khi tìm hiểu các hoạt động đầu mục và phần luyện tập vận dụng, chắc hẳn các bạn cũng đã nắm được kiến thức cơ bản về Toạ độ của Vectơ. Tiếp theo đây, cùng trả lời các câu hỏi trong phần bài tập SGK trang 65, 66 nhé.
Bài tập 1 trang 65
Tìm toạ độ của các vectơ trong Hình 16 và biểu diễn mỗi vectơ đó qua vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$
Phương pháp giải:
Vẽ các vectơ $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}, \overrightarrow{O C}=\vec{c}, \overrightarrow{O D}=\vec{d}$.
Tọa độ của 4 điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ là tọa độ của 4 vecto.
Để biểu diễn các vectơ qua vectơ đơn vị: $\vec{u}=(a ; b) \Leftrightarrow \vec{u}=a \vec{i}+b \vec{j}$
Vẽ các vectơ $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}, \overrightarrow{O C}=\vec{c}, \overrightarrow{O D}=\vec{d}$.
Tọa độ của 4 điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ là tọa độ của 4 vecto.
Để biểu diễn các vectơ qua vectơ đơn vị: $\vec{u}=(a ; b) \Leftrightarrow \vec{u}=a \vec{i}+b \vec{j}$
Lời giải chi tiết:
Dựa vào hình vẽ, ta thấy tọa độ của 4 điểm $A, B, C, D$ là:
$A(-5 ;-3), B(3 ;-4), C(-1 ; 3), D(2 ; 5)$
Do đó $\vec{a}=\overrightarrow{O A}=(-5 ;-3), \vec{b}=\overrightarrow{O B}=(3 ;-4), \vec{c}=\overrightarrow{O C}=(-1 ; 3), \vec{d}=\overrightarrow{O D}=(2 ; 5)$
b) Vì $\vec{a}=\overrightarrow{O A}=(-5 ;-3)$ nên $\vec{a}=(-5) \vec{i}+(-3) \vec{j}=-5 \vec{i}-3 \vec{j}$
Vì $\vec{b}=\overrightarrow{O B}=(3 ;-4)$ nên $\vec{b}=3 \vec{i}+(-4) \vec{j}=3 \vec{i}-4 \vec{j}$
Vì $\vec{c}=\overrightarrow{O C}=(-1 ; 3)$ nên $\vec{c}=(-1) \vec{i}+(3) \vec{j}=-\vec{i}+3 \vec{j}$
Vì $\vec{d}=\overrightarrow{O D}=(2 ; 5)$ nên $\vec{d}=2 \vec{i}+5 \vec{j}$
Dựa vào hình vẽ, ta thấy tọa độ của 4 điểm $A, B, C, D$ là:
$A(-5 ;-3), B(3 ;-4), C(-1 ; 3), D(2 ; 5)$
Do đó $\vec{a}=\overrightarrow{O A}=(-5 ;-3), \vec{b}=\overrightarrow{O B}=(3 ;-4), \vec{c}=\overrightarrow{O C}=(-1 ; 3), \vec{d}=\overrightarrow{O D}=(2 ; 5)$
Vì $\vec{b}=\overrightarrow{O B}=(3 ;-4)$ nên $\vec{b}=3 \vec{i}+(-4) \vec{j}=3 \vec{i}-4 \vec{j}$
Vì $\vec{c}=\overrightarrow{O C}=(-1 ; 3)$ nên $\vec{c}=(-1) \vec{i}+(3) \vec{j}=-\vec{i}+3 \vec{j}$
Vì $\vec{d}=\overrightarrow{O D}=(2 ; 5)$ nên $\vec{d}=2 \vec{i}+5 \vec{j}$
Bài tập 2 trang 65
Tìm toạ độ của các vectơ sau:
a) $\vec{a}=3 \vec{i}$
b) $\vec{b}=-\vec{j}$;
c) $\vec{c}=\vec{i}-4 \vec{j}$
d) $\vec{d}=0,5 \vec{i}+\sqrt{6} \vec{j}$.
a) $\vec{a}=3 \vec{i}$
b) $\vec{b}=-\vec{j}$;
c) $\vec{c}=\vec{i}-4 \vec{j}$
d) $\vec{d}=0,5 \vec{i}+\sqrt{6} \vec{j}$.
Phương pháp giải:
Sử dụng: $\vec{u}=(a ; b) \Leftrightarrow \vec{u}=a \vec{i}+b \vec{j}$
Sử dụng: $\vec{u}=(a ; b) \Leftrightarrow \vec{u}=a \vec{i}+b \vec{j}$
Lời giải chi tiết:
a) Vì $\vec{a}=3 \vec{i}$ nên $\vec{a}=(3 ; 0)$
b) Vì $\vec{b}=-\vec{j}$ nên $\vec{b}=(0 ;-1)$
c) Vì $\vec{c}=\vec{i}-4 \vec{j}$ nên $\vec{c}=(1 ;-4)$
d) Vì $\vec{d}=0,5 \vec{i}+\sqrt{6} \vec{j}$ nên $\vec{d}=(0,5 ; \sqrt{6})$
a) Vì $\vec{a}=3 \vec{i}$ nên $\vec{a}=(3 ; 0)$
b) Vì $\vec{b}=-\vec{j}$ nên $\vec{b}=(0 ;-1)$
c) Vì $\vec{c}=\vec{i}-4 \vec{j}$ nên $\vec{c}=(1 ;-4)$
d) Vì $\vec{d}=0,5 \vec{i}+\sqrt{6} \vec{j}$ nên $\vec{d}=(0,5 ; \sqrt{6})$
Bài tập 3 trang 65
Tìm các số thực $a$ và $b$ sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau.
a) $\vec{u}=(2 a-1 ;-3)$ và $\vec{v}=(3 ; 4 b+1)$;
b) $\vec{x}=(a+b ;-2 a+3 b)$ và $\vec{y}=(2 a-3 ; 4 b)$.
a) $\vec{u}=(2 a-1 ;-3)$ và $\vec{v}=(3 ; 4 b+1)$;
b) $\vec{x}=(a+b ;-2 a+3 b)$ và $\vec{y}=(2 a-3 ; 4 b)$.
Phương pháp giải:
Với $\vec{a}=\left(x_1 ; y_1\right)$ và $\vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$, ta có: $\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_1=x_2 \\ y_1=y_2\end{array}\right.$
Với $\vec{a}=\left(x_1 ; y_1\right)$ và $\vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$, ta có: $\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_1=x_2 \\ y_1=y_2\end{array}\right.$
Lời giải chi tiết:
a) Để $\vec{u}=\vec{v} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 a-1=3 \\ -3=4 b+1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=-1\end{array}\right.\right.$
Vậy $\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=-1\end{array}\right.$ thì $\vec{u}=\vec{v}$
b) $\vec{x}=\vec{y} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a+b=2 a-3 \\ -2 a+3 b=4 b\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=-2\end{array}\right.\right.$
Vậy $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=-2\end{array}\right.$ thì $\vec{x}=\vec{y}$
a) Để $\vec{u}=\vec{v} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 a-1=3 \\ -3=4 b+1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=-1\end{array}\right.\right.$
Vậy $\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=-1\end{array}\right.$ thì $\vec{u}=\vec{v}$
b) $\vec{x}=\vec{y} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a+b=2 a-3 \\ -2 a+3 b=4 b\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=-2\end{array}\right.\right.$
Vậy $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=-2\end{array}\right.$ thì $\vec{x}=\vec{y}$
Bài tập 4 trang 66
Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho ba điểm $A(2 ; 3), B(-1 ; 1), C(3 ;-1)$.
a) Tìm toạ độ điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{B C}$.
b) Tìm toạ độ trung điểm $N$ của đoạn thẳng $A C$. Chứng minh $\overrightarrow{B N}=\overrightarrow{N M}$.
a) Tìm toạ độ điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{B C}$.
b) Tìm toạ độ trung điểm $N$ của đoạn thẳng $A C$. Chứng minh $\overrightarrow{B N}=\overrightarrow{N M}$.
Phương pháp giải:
Với $\vec{a}=\left(x_1 ; y_1\right)$ và $\vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$, ta có: $\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_1=x_2 \\ y_1=y_2\end{array}\right.$
Với $\vec{a}=\left(x_1 ; y_1\right)$ và $\vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$, ta có: $\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_1=x_2 \\ y_1=y_2\end{array}\right.$
Lời giải chi tiết:
a) Gọi $M(a ; b) \Rightarrow \overrightarrow{A M}=(a-2 ; b-3)$
Tọa độ vecto $\overrightarrow{B C}=(4 ;-2)$
Để $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{B C} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a-2=4 \\ b-3=-2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=6 \\ b=1\end{array}\right.\right.$
Vậy để $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{B C}$ thì tọa độ điểm $\mathrm{M}$ là: $M(6 ; 1)$
b) Gọi $N(x, y) \Rightarrow \overrightarrow{N C}=(3-x,-1-y)$ và $\overrightarrow{A N}=(x-2, y-3)$
Do N là trung điểm $\mathrm{AC}$ nên $\overrightarrow{A N}=\overrightarrow{N C}$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-2=3-x \\ y-3=-1-y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=1\end{array}\right.\right.$. Vậy $N\left(\frac{5}{2}, 1\right)$
Ta có: $\overrightarrow{B N}=\left(\frac{7}{2} ; 0\right)$ và $\overrightarrow{N M}=\left(\frac{7}{2} ; 0\right)$. Vậy $\overrightarrow{B N}=\overrightarrow{N M}$
a) Gọi $M(a ; b) \Rightarrow \overrightarrow{A M}=(a-2 ; b-3)$
Tọa độ vecto $\overrightarrow{B C}=(4 ;-2)$
Để $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{B C} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a-2=4 \\ b-3=-2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=6 \\ b=1\end{array}\right.\right.$
Vậy để $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{B C}$ thì tọa độ điểm $\mathrm{M}$ là: $M(6 ; 1)$
b) Gọi $N(x, y) \Rightarrow \overrightarrow{N C}=(3-x,-1-y)$ và $\overrightarrow{A N}=(x-2, y-3)$
Do N là trung điểm $\mathrm{AC}$ nên $\overrightarrow{A N}=\overrightarrow{N C}$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-2=3-x \\ y-3=-1-y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=1\end{array}\right.\right.$. Vậy $N\left(\frac{5}{2}, 1\right)$
Ta có: $\overrightarrow{B N}=\left(\frac{7}{2} ; 0\right)$ và $\overrightarrow{N M}=\left(\frac{7}{2} ; 0\right)$. Vậy $\overrightarrow{B N}=\overrightarrow{N M}$
Bài tập 5 trang 66
Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho điểm $M(-1 ; 3)$.
a) Tìm toạ độ điểm $A$ đối xứng với điểm $M$ qua gốc $O$.
b) Tìm toạ độ điểm $B$ đối xứng với điểm $M$ qua trục $O x$.
c) Tìm tọa độ điểm $C$ đối xû́ng với điểm $M$ qua trục $O y$.
a) Tìm toạ độ điểm $A$ đối xứng với điểm $M$ qua gốc $O$.
b) Tìm toạ độ điểm $B$ đối xứng với điểm $M$ qua trục $O x$.
c) Tìm tọa độ điểm $C$ đối xû́ng với điểm $M$ qua trục $O y$.
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào hình vẽ ta thấy $A(1; -3)$
b) Dựa vào hình vẽ ta thấy $B(-1; -3)$
c) Dựa vào hình vẽ ta thấy $C(1; 3)$
a) Dựa vào hình vẽ ta thấy $A(1; -3)$
Bài tập 6 trang 66
Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho ba điểm không thẳng hàng $A(-3 ; 1), B(-1 ; 3)$, $I(4 ; 2)$. Tìm toạ độ của hai điểm $C, D$ sao cho tứ giác $A B C D$ là hình bình hành nhận $I$ làm tâm đối xứng.
Phương pháp giải:
Tâm đối xứng của hình bình hành là trung điểm hai đường chéo.
Với $\vec{a}=\left(x_1 ; y_1\right)$ và $\vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$, ta có: $\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_1=x_2 \\ y_1=y_2\end{array}\right.$
Tâm đối xứng của hình bình hành là trung điểm hai đường chéo.
Với $\vec{a}=\left(x_1 ; y_1\right)$ và $\vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$, ta có: $\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_1=x_2 \\ y_1=y_2\end{array}\right.$
Lời giải chi tiết:
Gọi $C(a ; b), D(m, n) \Rightarrow \overrightarrow{I C}=(a-4, b-2)$ và $\overrightarrow{I D}=(m-4, n-2)$
Do $I$ là tâm của hình bình hành $A B C D$ nên $I$ là trung điểm $A C$ và $B D$.
Vậy ta có: $\overrightarrow{A I}=\overrightarrow{I C}$ và $\overrightarrow{B I}=\overrightarrow{I D}$
Ta có: $\overrightarrow{A I}=(7 ; 1)$ và $\overrightarrow{B I}=(5 ;-1)$
Do $\overrightarrow{A I}=\overrightarrow{I C} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}7=a-4 \\ 1=b-2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=11 \\ b=3\end{array}\right.\right.$.Vậy $C(11 ; 3)$
Do $\overrightarrow{B I}=\overrightarrow{I D} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5=m-4 \\ -1=n-2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m=9 \\ n=1\end{array}\right.\right.$. Vậy $D(9 ; 1)$
Gọi $C(a ; b), D(m, n) \Rightarrow \overrightarrow{I C}=(a-4, b-2)$ và $\overrightarrow{I D}=(m-4, n-2)$
Do $I$ là tâm của hình bình hành $A B C D$ nên $I$ là trung điểm $A C$ và $B D$.
Vậy ta có: $\overrightarrow{A I}=\overrightarrow{I C}$ và $\overrightarrow{B I}=\overrightarrow{I D}$
Ta có: $\overrightarrow{A I}=(7 ; 1)$ và $\overrightarrow{B I}=(5 ;-1)$
Do $\overrightarrow{A I}=\overrightarrow{I C} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}7=a-4 \\ 1=b-2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=11 \\ b=3\end{array}\right.\right.$.Vậy $C(11 ; 3)$
Do $\overrightarrow{B I}=\overrightarrow{I D} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5=m-4 \\ -1=n-2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m=9 \\ n=1\end{array}\right.\right.$. Vậy $D(9 ; 1)$
Bài tập 7 trang 66
Trong mặt phẳng toa độ $O x y$, cho tam giác $A B C$. Các điểm $M(1 ;-2), N(4 ;-1)$ và $P(6 ; 2)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B C, C A, A B$. Tìm toạ độ của các điểm $A, B, C$.
Phương pháp giải:
Đường trung bình song song và bằng một phần hai cạnh đáy tương ứng
Với $\vec{a}=\left(x_1 ; y_1\right)$ và $\vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$, ta có: $\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_1=x_2 \\ y_1=y_2\end{array}\right.$
Đường trung bình song song và bằng một phần hai cạnh đáy tương ứng
Với $\vec{a}=\left(x_1 ; y_1\right)$ và $\vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$, ta có: $\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_1=x_2 \\ y_1=y_2\end{array}\right.$
Lời giải chi tiết:
Theo tích chất đường trung bình trong một tam giác ta có:
$\overrightarrow{P N}=\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{M C}$ và $\overrightarrow{M P}=\overrightarrow{N A}$
Gọi $A\left(a_1, a_2\right), B\left(b_1 ; b_2\right), C\left(c_1 ; c_2\right)$
Ta có: $\overrightarrow{P N}=(2 ; 3), \overrightarrow{B M}=\left(1-b_1 ;-2-b_2\right), \overrightarrow{M C}=\left(c_1-1 ; c_2+2\right), \overrightarrow{M P}=(5 ; 4)$, $\overrightarrow{N A}=\left(a_1-4 ; a_2+1\right)$
Có $\overrightarrow{P N}=\overrightarrow{B M} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2=1-b_1 \\ 3=-2-b_2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}b_1=-1 \\ b_2=-5\end{array}\right.\right.$.Vậy $B(-1 ;-5)$
Có $\overrightarrow{P N}=\overrightarrow{M C} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2=c_1-1 \\ 3=c_2+2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}c_1=3 \\ c_2=1\end{array}\right.\right.$.Vậy $C(3 ; 1)$
Có $\overrightarrow{N A}=\overrightarrow{M P} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5=a_1-4 \\ 4=a_2+1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a_1=9 \\ a_2=3\end{array}\right.\right.$.Vậy $A(9 ; 3)$
Theo tích chất đường trung bình trong một tam giác ta có:
$\overrightarrow{P N}=\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{M C}$ và $\overrightarrow{M P}=\overrightarrow{N A}$
Gọi $A\left(a_1, a_2\right), B\left(b_1 ; b_2\right), C\left(c_1 ; c_2\right)$
Ta có: $\overrightarrow{P N}=(2 ; 3), \overrightarrow{B M}=\left(1-b_1 ;-2-b_2\right), \overrightarrow{M C}=\left(c_1-1 ; c_2+2\right), \overrightarrow{M P}=(5 ; 4)$, $\overrightarrow{N A}=\left(a_1-4 ; a_2+1\right)$
Có $\overrightarrow{P N}=\overrightarrow{B M} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2=1-b_1 \\ 3=-2-b_2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}b_1=-1 \\ b_2=-5\end{array}\right.\right.$.Vậy $B(-1 ;-5)$
Có $\overrightarrow{P N}=\overrightarrow{M C} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2=c_1-1 \\ 3=c_2+2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}c_1=3 \\ c_2=1\end{array}\right.\right.$.Vậy $C(3 ; 1)$
Có $\overrightarrow{N A}=\overrightarrow{M P} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5=a_1-4 \\ 4=a_2+1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a_1=9 \\ a_2=3\end{array}\right.\right.$.Vậy $A(9 ; 3)$
Cảm ơn bạn đọc đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Giải SGK Bài Toạ độ của Vectơ Chương VII Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng trang 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66 Toán 10 Cánh diều tập 2. Hy vọng các bạn đã nắm được toàn bộ kiến thức của bài học này. Chúc các bạn học tốt!
