Lý thuyết Hàm số mũ – Hàm số Lôgarit chi tiết nhất

Quang Thái Tháng Mười Hai 10, 2021

Xin chào các bạn, hôm nay chúng ta sẽ đi đến một khái niệm là Hàm số mũ – Hàm số Lôgarit. Là khái niệm mà chúng ta sẽ hay gặp trong các đề thi. Vì vậy hôm nay HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn bài học Lý thuyết Hàm số mũ – Hàm số Lôgarit chi tiết nhất. Hãy cùng HocThatGioi theo dõi hết bài viết hôm nay nhé.

1. Lý thuyết Hàm số mũ

Sau đây là khái niệm, đạo hàm,.. của hàm số mũ

1.1 Định nghĩa hàm số mũ

Cho số thực dương $a$ khác $1$ .

Hàm số $y = a^{x}$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$ .

Ví dụ: $y = 3^{x}$ là hàm số mũ cơ số 3

1.2 Đạo hàm của hàm số mũ

Ta thừa nhận công thức : $\lim_{t \to 0}\frac{e^{t} - 1}{t} = 1$

Định lý 1: Hàm số $y = e^{x}$ có đạo hàm tại mọi $x$ và:

Đạo hàm

y = e^{x}

(e^{x})’ = e^{x}

Lưu ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số

e^{u}

(u = u(x))

là

(e^{u})’ = u’.e^{u}

Ví dụ: $(e^{2x})' = (2x)'e^{2x} = 2e^{2x}$

Định lý 2: Hàm số $y = a^{x} (a > 0, a\neq 1)$ có đạo hàm tại mọi $x$ và:

Đạo hàm

y = a^{x}

(a^{x})’ = a^{x}\ln a

Ví dụ: $(3^{x})' = 3^{x}\ln a$

Lưu ý: Đối với hàm hợp

y = a^{u(x)}

, ta có :

(a^{u})’ = a^{u}\ln a.u’

Ví dụ: $(8^{x^{2} + x + 1})' = 8^{x^{2} + x + 1}.(x^{2} + x + 1)' = (2x + 1)8^{x^{2} + x + 1}$

1.3 Khảo sát hàm số mũ

Dưới đây là khảo sát hàm mũ $y = a^{x}, a > 1$ và hàm số mũ $y = a^{x}, 0 < a < 1$ .

Lý thuyết Hàm số mũ - Hàm số Lôgarit chi tiết nhất 9 — Bảng I: Khảo sát hàm số $y = a^{x}$

Lý thuyết Hàm số mũ - Hàm số Lôgarit chi tiết nhất 10 — Bảng I: Khảo sát hàm số $y = a^{x}$

$y = a^{x}, a > 1$	$y = a^{x}, 0 < a < 1$
1. Tập xác định: $\mathbb{R}$	1. Tập xác định: $\mathbb{R}$
2. Sự biến thiên: $y' = a^{x}\ln a > 0 \forall x$	2. Sự biến thiên: $y' = a^{x}\ln a < 0 \forall x$
3. Giới hạn đặc biệt: $\lim_{x \to -\infty}a^{x} = 0, \lim_{x \to +\infty}a^{x}= +\infty$	3. Giới hạn đặc biệt: $\lim_{x \to -\infty}a^{x} = +\infty, \lim_{x \to +\infty}a^{x}= 0$
4. Tiềm cân: Trục $Ox$ là tiệm cận ngang	4. Tiềm cân: Trục $Ox$ là tiệm cận ngang
5. Bảng biến thiên	5. Bảng biến thiên
6. Đồ thị	6. Đồ thị

2. Lý thuyết Hàm số Lôgarit

Sau đây là khái niệm, đạo hàm,… của hàm số Lôgarit

2.1 Khái niệm hàm số Lôgarit

Cho số thực dương $a \neq 1$ .

Hàm số $y = \log_{a}x$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số $a$ .

Ví dụ: $y = \log_{\sqrt{2}}x$ là hàm số lôgarit cơ số $\sqrt{2}$

2.2 Đạo hàm của hàm số lôgarit

Định lý 3: Hàm số $y = \log_{a}x (a > 0, a \neq 1)$ có đạo hàm tại mọi $x > 0$ và:

Đạo hàm

y = \log_{a}x

(log_{a}x)’ = \frac{1}{x\ln a}

Ví dụ: $(\log_{3}x)' = \frac{1}{x\ln 3}$

Đặc biệt: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Lưu ý: Đối với hàm hợp

y = \log_{a}u(x),

ta có:

(\log_{a}u)’ = \frac{u’}{u\ln a}

Ví dụ: $(\log_{3}(x^{2} + 3x))' = \frac{2x + 3}{(x^{2} + 3x)\ln 3}$

2.3 Khảo sát hàm số Lôgarit

Dưới đây là khảo sát hàm số $y = \log_{a}x$ .

Lý thuyết Hàm số mũ - Hàm số Lôgarit chi tiết nhất 13 — Bảng II: Khảo sát hàm số $y = \log_{a}x$

Lý thuyết Hàm số mũ - Hàm số Lôgarit chi tiết nhất 14 — Bảng II: Khảo sát hàm số $y = \log_{a}x$

$y = \log_{a}x, a > 1$	$y = \log_{a}x, 0 < a < 1$
1. Tập xác định: $(0;+\infty)$	1. Tập xác định: $(0;+\infty)$
2. Sự biến thiên: $y' = \frac{1}{x\ln a} > 0, \forall x > 0$	2. Sự biến thiên: $y' = \frac{1}{x\ln a} < 0, \forall x > 0$
3. Giới hạn đặc biệt: $\lim_{x \to 0^{+}}\log_{a}x = -\infty$ $\lim_{x \to +\infty}\log_{a}x = +\infty$	3. Giới hạn đặc biệt: $\lim_{x \to 0^{+}}\log_{a}x = +\infty$ $\lim_{x \to +\infty}\log_{a}x = -\infty$
4. Tiệm cận: Trục $Oy$ là tiệm cận đứng	4. Tiệm cận: Trục $Oy$ là tiệm cận đứng
5. Bảng biến thiên	5. Bảng biến thiện
6. Đồ thị	6. Đồ thị

3. Bảng đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, mũ, lôgarit

Hàm sơ cấp	Hàm hợp $(u = u(x))$
$(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}$ $(\frac{1}{x})' = \frac{-1}{x^{2}}$ $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$	$(u^{\alpha})' = \alpha u^{\alpha - 1}.u'$ $(\frac{1}{u})' = \frac{-u'}{u^{2}}$ $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
$(e^{x})' = e^{x}$ $(a^{x})' = a^{x}\ln a$	$(e^{u})' = u'.e^{u}$ $(a^{u})' = a^{u}\ln a.u'$
$(\ln \|x\|)' = \frac{1}{x}$ $(\log_{a}\|x\|)' = \frac{1}{x\ln a}$	$(\ln \|u\|)' = \frac{u'}{u}$ $(\log_{a}\|u\|)' = \frac{u'}{u\ln a}$

Bảng III: Đạo hàm số luỹ thừa, mũ, lôgarit

Trên đây là bài viết Lý thuyết Hàm số mũ – Hàm số Lôgarit chi tiết nhất mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Hàm số mũ – Hàm số logarit để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.