Lý thuyết khái niệm và tính chất của Lôgarit chi tiết và đầy đủ nhất

Quang Thái Tháng Mười Hai 7, 2021

Xin chào các bạn, hôm nay chúng ta sẽ bước sang một khái niệm mới lạ đó là Logarit, một phần rất quan trọng trong Đại số 12. Vì vậy, hôm nay HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn lý thuyết về logarit chi tiết và đầy đủ nhất. Hãy cùng HocThatGioi bắt đầu buổi học hôm nay nhé.

1. Khái niệm Lôgarit

Sau đây là định nghĩa và tính chất của lôgarit.

1.1 Định nghĩa Lôgarit

Cho hai số dương $a, b$ với $a \neq 1$ . Số $\alpha$ thoả mãn đẳng thức $a^{\alpha} = b$ được gọi là lôgarit cơ số $a$ của $b$ và kí hiệu là $\log_{a}b$ .

Lôgarit cơ số

a

của

b

\alpha = log_{a}b \Leftrightarrow a^{\alpha} = b

Ví dụ:

$\log_{2}8 = 3$ vì $2^{3} = 8$
$\log_{\frac{1}{3}}9 = -2$ vì $(\frac{1}{3})^{-2} = 9$

Lưu ý: Không có lôgarit của số âm và số 0

2.1 Tính chất Lôgarit

Cho hai số dương $a, b, a \neq 1$ . Ta có các tính chất sau đây:

Tính chất lôgarit

\log_{a}1 = 0, \log_{a}a = 1

a^{\log_{a}b} = b, log_{a}a^{\alpha} = \alpha

Ví dụ: $3^{2\log_{3}5} = (3^{\log_{3}5})^{2} = 5^{2} = 25$ ; $\log_{\frac{1}{2}}8 = log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^{-3} = 3$

2. Quy tắc tính Lôgarit

Dưới đây là cách tính lôgarit của một tích hoặc lôgarit của một thương.

2.1 Quy tắc tính Lôgarit của một tích

Cho ba số dương $a, b_{1}, b_{2}$ với $a \neq 1$ , ta có:

Lôgarit của một tích

\log_{a}b_{1}b_{2} = \log_{a}b_{1} + \log_{a}{b_{2}}

Nghĩa là::
Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit.

Chứng minh:

Đặt $\alpha _{1} = \log_{a}b_{1}, \alpha _{2} = \log_{a}b_{2},$ ta có:

$\alpha _{1} + \alpha _{2} = \log_{a}b_{1} + log_{a}b_{2}$ (1)

Mặt khác vì $b_{1} = a^{\alpha _{1}}, b_{2} = a^{\alpha _{2}}$ suy ra $b_{1}b_{2} = a^{\alpha _{1} + \alpha _{2}}$

Do đó $\alpha _{1} + \alpha _{2} = \log_{a}b_{1}b_{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\log_{a}b_{1}b_{2} = \log_{a}b_{1} + \log_{a}{b_{2}}$

Ví dụ: $\log_{6}9 + \log_{6}4 = \log_{6}(9.4) = \log_{6}36 = 2$

2.2 Quy tắc tính Lôgarit của một thương

Cho ba số dương $a, b_{1}, b_{2}$ với $a \neq 1$ , ta có:

Lôgarit của một thương

\log_{a}\frac{b_{1}}{b_{2}} = log_{a}b_{1} – log_{a}b_{2}

Nghĩa là:
Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit

Chứng minh: Tương tự chứng minh lôgarit của một tích

Lưu ý:

\log_{a}\frac{1}{b} = -\log_{a}b

(

a > 0, b > 0, a \neq 1

)

Ví dụ: $\log_{7}49 - \log_{7}343 = log_{7}\frac{49}{343} = log_{7}\frac{1}{7} = -\log_{7}7 = -1$

2.3 Quy tắc tính Lôgarit của một luỹ thừa

Cho hai số dương $a, b; a\neq 1$ . Với mọi $\alpha$ ta có:

Lôgarit của một luỹ thùa

\log_{a}b^{\alpha} = \alpha\log_{a}b

Nghĩa là:
Lôgarit của một luỹ thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.

Chứng minh:

Đặt $\beta = \log_{a}b$ thì $b = a^{\beta}$ .

Do đó $b^{\alpha} = (a^{\beta})^{\alpha} = a^\alpha \beta{}$ .

Suy ra $\alpha \beta = \log_{a}b^{\alpha}$ hay $\alpha \log_{a}b = \log_{a}b^{\alpha}$

Lưu ý:

\log_{a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}\log_{a}b

Ví dụ: $\log_{2}4^{\frac{1}{7}} = log_{2}2^{\frac{2}{7}} = \frac{2}{7}$

3. Đổi cơ số Lôgarit

Cho ba số dương $a, b, c$ với $a \neq 1, c\neq 1$ , ta có:

Đổi cơ số lôgarit

\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}

Chứng minh:

Ta có: $\log_{c}b = \log_{c}(a^{\log_{a}b}) = \log_{a}b.\log_{c}a$ .

Vì $a \neq 1$ nên $\log_{c}a \neq 0$ . Do đó : $\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

Lưu ý:

\log_{a}b = \frac{a}{\log_{b}a}

(

b \neq 1

)

\log_{a^{\alpha}}b = \frac{1}{\alpha} log_{a}b

(

a \neq 0

)

Ví dụ:

Tính

2^{\log_{4}15}

Ta có

\log_{4}15 = \log_{2^{2}}15 = log_{2}\sqrt{15}

.
Do đó

2^{\log_{4}15} = 2^{\log_{2}\sqrt{15}} = \sqrt{15}

4. Lôgarit thập phân – Lôgarit tự nhiên

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10.

$\log_{10}b$ thường được viết là $\log_{}b$ hoặc $\lg_{}b$

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e.

$\log_{e}b$ được viết là $\ln_{}b$

Cảm ơn các bạn đã theo dõi hết bài viết hôm nay viết này và các bạn cùng hãy theo dõi các bài viết tiếp theo về chương hàm số mũ – hàm logarit để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.