Lý thuyết về dãy số đầy đủ chi tiết nhất
Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ giới thiệu với các bạn tất tần tật về dãy số cực đầy đủ chi tiết. Đọc xong bài này chắc chắn sẽ giải quyết được các thắc mắc mà các bạn đang vướng phải về dãy số này đấy. Cùng theo dõi ngay nhé!
1. Dãy số là gì?
Dãy số được chia thành 2 loại: dãy số vô hạn và dãy số hữu hạn.
1.1 Dãy số vô hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương \mathbb{N} ^{\ast} được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), Kí hiệu :
- u: N \rightarrow R
- n \mapsto u(n)
Dãy số trên thường được viết dưới dạng u_1,u_2,...,u_n,..., trong đó:
- u_n=u(n) là số hạng thứ n hay được gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
- u_1 là số hạng đầu của dãy số
1.2 Dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M={1,2,3,...,m} với M \in \mathbb{N} ^{\ast} được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dãy số hữu hạn thường được viết dưới dạng u_1,u_2,...u_m. Trong đó :
- u_1 là số hạng đầu.
- u_m là số hạng cuối.
Lưu ý: Dãy số vô hạn không có số hạng cuối
2. Các cách thể hiện một dãy số
Có 3 cách để thể hiện một dãy số: dãy số thể hiện bằng công thức số hạng tổng quát, dãy số thể hiện bằng phương pháp mô tả, dãy số thể hiện bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp).
2.1 Dãy số thể hiện bằng công thức số hạng tổng quát
Để thể hiện dãy số bằng công thức số hạng tổng quát, ta cho u_n=f(n) trong đó f là một hàm số xác định trên \mathbb{N} ^{\ast}
Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cũng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được u_n.
2.2 Dãy số thể hiện bằng phương pháp mô tả
Để thể hiện dãy số bằng phương pháp mô tả, người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được u_n với n tuỳ ý.
2.3 Dãy số thể hiện bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)
Để thể hiện một dãy số bằng phương pháp truy hồi hay quy nạp, thường sẽ cho 2 dữ kiện:
- Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).
- Với n ≥ 2, cho một công thức tính u_n nếu biết u_{n-1} (hoặc một vài số hạng đứng trước đó)
Một vài ví dụ về dãy số cho bằng phương pháp truy hồi hay quy nạp:
- \left\{\begin{matrix} u_1=1\\u_n=2.u_{n-1} \end{matrix}\right..
- \left\{\begin{matrix} u_1=1\\u_2=1 \\u_n=u_{n-1}+u_{n-2} \end{matrix}\right..
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy số có 2 tính chất: dãy số tăng và dãy số giảm
- Dãy số u_n gọi là dãy số tăng khi và chỉ khi u_{n+1} \geqslant u_n \forall n \in \mathbb{N} ^ {\ast }
- Dãy số u_n gọi là dãy số giảm khi và chỉ khi u_{n+1} \leqslant u_n \forall n \in \mathbb{N} ^ {\ast }
4. Dãy số bị chặn
Một dãy số có thể bị chặn trên, bị chặn dưới hoặc là bị chặn (vừa chặn trên vừa chặn dưới):
- Một dãy số gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u_n \leqslant M \: \forall n \in \mathbb{N} ^ {\ast }
- Một dãy số gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u_n \geqslant m \: \forall n \in \mathbb{N} ^ {\ast }
- Một dãy số gọi là bị chặn (vừa chặn trên vừa chặn dưới nếu tồn tại số M,m sao cho M \geqslant u_n \geqslant m \: \forall n \in \mathbb{N} ^ {\ast }
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Lý thuyết về dãy số đầy đủ chi tiết nhất. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!
