Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ mang đến cho bạn lý thuyết vi phân cực chi tiết, giúp bạn hiểu rõ và vận dụng lý thuyết để giải quyết các bài tập liên quan. Cùng HocThatGioi tìm hiểu ngay nhé!
1. Định nghĩa
Trước tiên, chúng ta hãy cùng tìm hiểu xem vi phân là gì?
Định nghĩa vi phân
dy=df(x)=f'(x)\Delta x
Trong đó: \Delta x là số gia f'(x) là đạo hàm của hàm số y=f(x) dy hoặc df(x) là vi phân của hàm số y=f(x) tại x
Lưu ý: Với hàm số y=f(x) ta có dy=df(x)=f'(x)dx
Ví dụ: Tìm vi phân của hàm số y=x^2+4x-6
Giải:
Ta có: y=x^2+4x-6 \Rightarrow y’=2x+4
Vậy dy=d(x^2+4x-6)=y’dx=(2x+4)dx
2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
Cùng HocThatGioi tìm hiểu xem vi phân được ứng dụng như thế nào trong các phép tính gần đúng nha!
Công thức tính gần đúng
f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\Delta x
Cùng theo dõi phần chứng mình dưới đây để biết tại sao chúng ta lại có công thức như trên nhé!
Chứng minh:
Theo định nghĩa của đạo hàm ta có: f'(x_{0})=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} Với \left|\Delta x \right| đủ nhỏ thì \frac{\Delta y}{\Delta x}\approx f'(x_{0}) hay \Delta y\approx f'(x_{0}) \Delta x \Rightarrow f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\approx f'(x_{0})\Delta x Vậy f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\Delta x
Đây được coi là công thức tính gần đúng đơn giản nhất. Vì vậy, hãy lưu lại và ghi nhớ để sử dụng khi cần thiết nha.
Ví dụ: Tính giá trị gần đúng của \sqrt{0,996} (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).
Giải:
Đặt f(x)=\sqrt{x} ta có f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Với x_{0}=1,\ \Delta x=-0,004
Ta có f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\Delta x\Leftrightarrow \sqrt{0,996}\approx 1-\frac{1}{2}.0,004=0,998
Vậy \sqrt{0,996}\approx0,998
3. Bài tập vận dụng
Để các bạn có thể nắm vững kiến thức về vi phân, HocThatGioi đã tổng hợp một số bài tập để bạn luyện tập.
Câu 1: Tìm \frac{d(sinx)}{d(cosx)}
Giải:
Ta có \frac{d(sinx)}{d(cosx)}=\frac{(sinx)’dx}{(cosx)’dx}=\frac{cosx}{-sinx}=-cotx \ \left ( x\neq k\frac{\pi }{2}, \ k\in \mathbb{Z} \right )
Giải:
Ta có y’=(cos^{2}x)’=-2.sinx.cosx \Rightarrow dy=-2.sinx.cosx.dx
Câu 4: Tính vi phân của hàm số f(x)=sin2x tại điểm x=\frac{\pi }{3} với \Delta x=0,01 .
Giải:
Ta có: f'(x)=(sin2x)’=2cos2x df(x)=2cos2x.\Delta x (*)
Thay \frac{\pi }{3} và \Delta x=0,01 vào (*) ta được df\left ( \frac{\pi }{3} \right )=2.cos\frac{2\pi }{3}.0,01=-0,01
Câu 5: Tính vi phân của hàm số y=x.cosx
Giải:
Ta có y’=(x.cosx)’=x’.cosx+x.(cosx)’=cosx-x.sinx \Rightarrow dy=y’dx=(cosx-x.sinx)dx
Câu 6: Tìm giá trị gần đúng của \frac{1}{0,9995}
Giải:
Đặt f(x)=\frac{1}{x} ta có f'(x)=\frac{-1}{x^2}
Với x_{0}=1, \ \Delta x=-0,0005 ta có f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\Delta x\Leftrightarrow \frac{1}{x_{0}+\Delta x}\approx \frac{1}{x_{0}}-\frac{1}{x_{0}^{2}}.\Delta x \Leftrightarrow \frac{1}{0,9995}\approx 1+0,0005=1,0005
Giải:
Ta có: \sqrt{2}=2\sqrt{\frac{1}{2}}=2\sqrt{1-0,5}
Đặt f(x)=2\sqrt{1-x} ta có f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x}}
Với x_{0}=0 ta có f(0)=2,\ f'(0)=-1
Ta có f(0,5)\approx f(0)+(0,5-0).f'(0)=2+0,5.(-1)=1,5
Vậy \sqrt{2}\approx 1,5
Câu 9: Tính gia trị gần đúng của \sqrt[3]{26,7}
Giải:
Đặt f(x)=\sqrt[3]{26,7} ta có \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}
Với x_{0}=27,\ \Delta x=-0,3
ta có \sqrt[3]{26,7}\approx \sqrt[3]{27}+\frac{1}{27}.(-0,3)\approx 2,999
Câu 10: Tính giá trị gần đúng của sin29^{\circ}
Giải:
Đặt f(x)=sinx ta có f'(x)=cosx
Với x_{0}=\frac{\pi }{6},\ \Delta x=-\frac{\pi }{180} \Rightarrow sin\left ( \frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{180} \right ) \approx sin\frac{\pi }{6}+cos\left ( \frac{\pi }{180} \right )\approx 0,4849
Trên đây HocThatGioi đã phân tích chi tiết về Vi phân, hi vọng bài viết này sẽ giúp ích cho việc học tập của các bạn. Chúc các bạn mạnh khỏe và học tập thật tốt!
