Quy tắc tính đạo hàm cực chi tiết, dễ hiểu

Khánh Linh Tháng Mười Một 23, 2021

Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Quy tắc tính đạo hàm và cách vận dụng các quy tắc đó để làm bài tập. Cùng HocThatGioi tìm hiểu ngay nhé!

1. Đạo hàm của tổng (hiệu) hai hàm số

Cùng HocThatGioi tìm hiểu quy tắc tính Đạo hàm của tổng (hiệu) các hàm số nhé!

Quy tắc tính đạo hàm của tổng (hiệu) của hai hàm số

[u(x)+v(x)]’=u'(x)+v'(x)

[u(x)-v(x)]’=u'(x)-v'(x)

Trong đó:
Nếu 2 hàm số

u=u(x)

và

v=v(x)

có đạo hàm trên

J

thì hàm số

y=u(x)+v(x)

và

y=u(x)-v(x)

cũng có đạo hàm trên

J

Ghi chú : Các công thức trên có thể viết gọn là

(u+v)’=u’+v’

và

(u-v)’=u’-v’

Nhận xét
Có thể mở rộng định lý trên cho tổng (hiệu) của nhiều hàm số : Nếu các hàm số $u,v,...,w$ có đạo hàm trên $J$ thì trên $J$ ta có $(u\pm v \pm ... \pm w)'=u'\pm v'\pm ... \pm w'$

Cùng HocThatGioi làm ví dụ sau để nắm rõ hơn nhé!

Ví dụ : Tìm đạo hàm của các hàm số sau
a.

y=x^{3}-x^{2}

y=x+3

y=7-3x

Giải :
a.

y’=3x^{2}-2x

y’=1

y’=-3

2. Đạo hàm của tích hai hàm số

Sau đây, HocThatGioi sẽ giới thiệu cho bạn về quy tắc tính đạo hàm của tích hai hàm số.

Quy tắc tính đạo hàm của tích hai hàm số

[u(x)v(x)]’=u'(x).v(x)+u(x).v'(x)

[ku(x)]’=ku'(x)

(với

k

là hằng số)

Trong đó:
Nếu hai hàm số

u=u(x)

và

v=v(x)

có đạo hàm trên

J

thì hàm số

y=u(x)v(x)

cũng có đạo hàm trên

J

Ghi chú: Các công thức trên có thể viết gọn là

(uv)’=u’v+uv’

và

(ku)’=ku’

Cùng HocThatGioi làm ví dụ sau để nắm rõ hơn nhé!

Ví dụ : Tìm đạo hàm của các hàm số sau
a.

y=\frac{2}{3}x^{3}+3

y=(x-1)(x-3)

Giải :
a.

y’=2x

y’=1.(x-3)+(x-1).1=2x-4

3. Đạo hàm của thương hai hàm số

Tiếp theo, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu đạo hàm của thương hai hàm số.

Quy tắc tính đạo hàm của thương hai số

\left [ \frac{u(x)}{v(x)} \right ]’=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}

Trong đó:
Nếu hai hàm số

u=u(x)

và

v=v(x)

có đạo hàm trên

J

và

v(x)\neq 0

với mọi

x\in J

thì hàm số

y=\frac{u(x)}{v(x)}

cũng có đạo hàm trên

J

Ghi chú: Công thức trên có thể viết gọn là

\left ( \frac{u}{v} \right )’=\frac{u’v-uv’}{v^{2}}

HỆ QUẢ
a. Trên $(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$ ta có $\left ( \frac{1}{x} \right )'=-\frac{1}{x^{2}}$
b. Nếu hàm số $v=v(x)$ có đạo hàm trên $J$ và $v(x)\neq 0$ với mọi $x\in J$ thì trên $J$ ta có $\left ( \frac{1}{v(x)} \right )' = -\frac{v'(x)}{v^{2}(x)}$

Ghi chú: Công thức thứ hai trong hệ quả trên có thể viết gọn là

\left ( \frac{1}{v} \right )’ = -\frac{v’}{v^{2}}

Cùng HocThatGioi làm ví dụ sau để nắm rõ hơn nhé!

Ví dụ : Tính đạo hàm của các hàm số sau
a.

y=\frac{1+9x}{x+2}

y=\frac{1}{x^{2}-1}

Giải :
a.

y’=\frac{(1+9x)'(x+2)-(1+9x)(x+2)’}{(x+2)^{2}}=\frac{9(x+2)-(1+9x)}{(x+2)^{2}}=\frac{17}{(x+2)^{2}}

y’=-\frac{(x^{2}-1)’}{(x^{2}-1)^{2}}=-\frac{2x}{(x^{2}-1)^{2}}

4. Đạo hàm của một số hàm thường gặp

Để việc tính đạo hàm trở nên nhanh hơn, chúng ta hãy cùng tìm hiểu đạo hàm của một số hàm thường gặp qua bảng dưới đây nhé!

$(c)'=0$ (với c là hằng số)
$(x)'=1$
$(x^{n})' = nx^{n-1} (n\in \mathbb{N},n\geq 2)$	$(u^{n})'=nu^{n-1}u'$
$(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^{2}}\:(x\neq 0)$	$(\frac{1}{u})'=-\frac{u'}{u^{2}}$
$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\:(x>0)$	$(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$

Bảng đạo hàm các hàm số thường gặp

Lưu ý: Ở đây

u=u(x)

Trên đây HocThatGioi đã phân tích chi tiết về các Quy tắc tính đạo hàm, hi vọng bài viết này sẽ giúp ích cho việc học tập của các bạn. Chúc các bạn mạnh khỏe và học tập thật tốt!