Bài toán tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần đầy đủ chi tiết nhất

Đặt \left\{\begin{matrix}
u=lnx\\
dv=dx
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{x}dx\\
v=x
\end{matrix}\right.

Vậy F(x)=xlnx - \int x. \frac{1}{x}dx=xlnx-x+C

Đặt \left\{\begin{matrix}
u=x\\
dv=sinxdx
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
du=dx\\
v=-cosx
\end{matrix}\right.

Vậy F(x)=-xcosx+\int cosxdx=-xcosx +sinx +C

Đặt \left\{\begin{matrix}
u=x\\
dv=e^{3x}dx
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
du=dx\\
v=\frac{1}{3}e^{3x}
\end{matrix}\right.

Vậy f(x)=\frac{1}{3}xe^{3x}-\int \frac{1}{3}e^{3x}dx=\frac{1}{3}xe^{3x}- \frac{1}{9}e^{3x}+C

Đặt \left\{\begin{matrix}
u=x\\
dv=3^xdx
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
du=dx\\
v=\frac{3^x}{ln3}
\end{matrix}\right.

Vậy F(x)=\frac{x3^x}{ln3}-\int \frac{3^x}{ln3}dx=\frac{x3^x}{ln3}- \frac{3^x}{ln^23}+C

Ta có: F(x)=\int e^x sinx dx= e^xsinx-\int e^xcosx dx=e^xsinx-[e^xcosx+\int e^xsinx dx]=e^xsinx-[e^xcosx+F(x)]

\Leftrightarrow 2F(x)=e^xsinx-e^xcosx

F(x)=\frac{1}{2}(e^xsinx-e^xcosx)

Đặt \left\{\begin{matrix}
u=x\\
dv=sinxcos^2xdx
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=dx\\
v=\frac{cos^3x
}{3}\end{matrix}\right.

Khi đó: F(x)=-\frac{xcos^3x}{3}+\int \frac{cos^3x}{3} dx=-\frac{xcos^3x}{3}+\int \frac{cos3x+3cosx}{12} dx=-\frac{xcos^3x}{3}+\frac{sin3x}{36}+\frac{sinx}{4}+C

Đặt \left\{\begin{matrix}
u=x^2e^x\\
dv=\frac{dx}{(x+2)^2}
\end{matrix}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=x(x+2)e^xdx\\
v=-\frac{1}{x+2}
\end{matrix}\right.

Khi đó: F(x)=-\frac{x^2e^x}{x+2}+\int xe^x dx=-\frac{x^2e^x}{x+2}+xe^x-e^x+C