Bài toán tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến hay chi tiết nhất

Ngọc Quốc Tháng Sáu 18, 2021

Phương pháp đổi biến chung tìm nguyên hàm của hàm số, các dạng thường gặp. Tổng hợp các bài tập dùng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm hay nhất..

Phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm là một phương pháp khá quan trọng và rất hay gặp trong các đề thi. Vì vậy, hôm nay HocThatGioi sẽ cùng các bạn đi tìm hiểu về cách để thực hiện phương pháp này cũng như các bài tập rất hay mà HocThatGioi đã tổng hợp được sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về phương pháp này đấy.

1. Phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm của hàm số

Dưới đây là các bước để tìm nguyên hàm của hàm số bằng phương pháp đổi biến rất cụ thể và chi tiết.

Tìm $I=\int f(x)dx$ bằng phương pháp đổi biến

Bước 1: Đặt $t=g(x)$

Chọn $g(x)$ sao cho phù hợp nhất với từng bài toán, mỗi bài sẽ có cách chọn g(x) hợp lí nhất.

Bước 2: Lấy vi phân 2 vế

$dt=g'(x)dx$ .

Bước 3: Biến đổi và lấy nguyên hàm

$\int f(x) dx=\int f(g(x)).g'(x)dx=\int f(t)dt=F(t)+C=F(g(x))+C$ .

Lưu ý: Đôi khi thay cách đặt $t = t(x)$ bởi $t = m.t(x) + n$ ta sẽ biến đổi dễ dàng và nhanh hơn.

Để dễ hiểu hơn, các bạn hãy tham khảo ví dụ sau đây nhé!

Tìm nguyên hàm của hàm số sau: $f(x)=2xsinx^2$

2. Một số dạng nguyên hàm đổi biến thường gặp

Các dạng bài tìm nguyên hàm của hàm số bằng phương pháp đổi biến đã được HocThatGioi tổng hợp lại qua bảng dưới đây, các bạn hãy tham khảo và ghi nhớ thật kỹ để có thể phản xạ nhanh chóng khi đối mặt với nó.

STT	Dạng nguyên hàm	Cách đặt	Đặc điểm nhận dạng
1	$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx$	$t = f(x)$	Biểu thức dưới mẫu
2	$\int f[e^{t(x)}]t'(x)dx$	$t = t(x)$	Biểu thức ở phần số mũ
3	$\int f[t(x)]t'(x)dx$	$t = t(x)$	Biểu thức trong dấu ngoặc
4	$\int f[ \sqrt [n] {t(x)}] t'(x) dx$	$t=\sqrt [n]{t(x)}$	Căn thức
5	$\int f(lnx) \frac {dx}{x}$	$t = lnx$	$\frac{dx}{x}$ đi kèm biểu thức theo $lnx$
6	$\int f(sinx)cosxdx$	$t = sinx$	$cosx dx$ đi kèm biểu thức theo $sinx$
7	$\int f(cosx)sinxdx$	$t = cosx$	$sinx dx$ đi kèm biểu thức theo $cosx$
8	$\int f(tanx)\frac{dx}{cos^2x}$	t = tanx	$\frac{dx}{cos^2x}$ đi kèm biểu thức theo $tanx$
9	$\int f(cotx)\frac{dx}{sin^2x}$	$t = cotx$	$\frac{dx}{sin^2x}$ đi kèm biểu thức theo $cotx$
10	$\int f(e^{ax}) e^{ax}dx$	$t = e^{ax}$	$e^{ax}dx$ đi kèm biểu thức theo $e^{ax}$

Một số dạng nguyên hàm đổi biến thường gặp

3. Các bài tập dùng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm hay

Để dùng tốt phương pháp đổi biến này và chọn cách đặt cho hợp lí thì các bạn cần phải làm bài tập thật nhiều để có được cái nhìn tổng quan và phản xạ nhanh chóng khi gặp các bài toán dạng này.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{x^3}{1+x^2}$

a. $\frac{1}{2}(x-ln|x|)+C$
b. $2(x-ln|x|)+C$
c. $\frac{1}{2}(x^2+1-ln|x^2+1|)+C$
d. $2(x^2+1-ln|x^2+1|)+C$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=(cos^3x-2cos^2x+1) sinx$

a. $-\frac{cosx^4}{4}+\frac{2}{3}cosx^3-cosx+C$
b. $-\frac{cosx^3}{3} + cosx^3- cosx+C$
c. $\frac{cosx^3}{3}+\frac{2}{3}cosx^3-cosx+C$
d. $\frac{cosx^4}{4}-\frac{2}{3}cosx^3+cosx+C$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{3ln^2x +2lnx-3}{x}$

a. $-ln^3x-ln^2x+3lnx+C$
b. $-3ln^3x-2ln^2x+3lnx+C$
c. $3ln^3x+2ln^2x-3lnx+C$
d. $ln^3x+ln^2x-3lnx+C$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{tan^2x-3tanx}{cos^2x}$

a. $-\frac{tan^3x}{3}+\frac{3tan^2x}{2}+C$
b. $\frac{tan^3x}{3}-\frac{3tan^2x}{2}+C$
c. $-tan^3x+\frac{3tan^2x}{2}+C$
d. $tan^3x-\frac{3tan^2x}{2}+C$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{2cosx.sin^3x}{1+sin^2x}$

a. $1+sin^2x+ln|1+sin^2x|+C$
b. $1+2sin^2x-ln|1+sin^2x|+C$
c. $1+2sin^2x+ln|1+sin^2x|+C$
d. $1+sin^2x-ln|1+sin^2x|+C$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{ \sqrt{e^x+1}}$

a. $ln|\frac{x-1}{x+1}|+C$
b. $ln|\frac{x+1}{x-1}|+C$
c. $ln|\frac{\sqrt{e^x+1}+1}{\sqrt{e^x+1}-1}|+C$
d. $ln|\frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1}|+C$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{-sinx+cosx}{cosx+sinx}$

a. $ln|cosx-sinx| +C$
b. $-ln|-cosx+sinx| +C$
c. $-ln|cosx+sinx| +C$
d. $ln|cosx+sinx| +C$

Nếu các bạn đã có thể giải trơn tru các bài toán trên thì chắc hẳn các bạn đã nắm rõ được phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm của hàm số rồi đấy!

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Bài toán tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến hay chi tiết nhất. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi nhá. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt để tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!