Phương pháp – bài tập tính nguyên hàm cơ bản có điều kiện chi tiết nhất

Quang Thái Tháng Một 1, 2022

Xin chào các bạn, bài viết hôm nay sẽ đem đến cho các bạn phương pháp tính nguyên hàm cơ bản dựa trên các công thức cũng như sẽ có một số bài tập để các bạn khái quát kiến thức. Hãy theo dõi hết bài viết cùng HocThatGioi nhé.

1. Phương pháp tính nguyên hàm bằng cơ bản có điều kiện

Dưới đây là bảng nguyên hàm tổng hợp các công thức nguyên hàm hay gặp. Hãy xem qua trước khi vào từng phương pháp nhé.

$\int 0dx = C$	$\int kdx = kx + C$
$\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$	$\int (ax + b)^{n}dx = \frac{1}{a}\frac{(ax + b)^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\int\frac{1}{x} dx = \ln \|x\| + C$	$\int\frac{1}{ax + b} dx = \frac{1}{a}\ln \|ax + b\| + C$
$\int\frac{1}{x^{2}} = -\frac{1}{x} + C$	$\int\frac{1}{(ax + b)^{2}} = -\frac{1}{a}.\frac{1}{ax + b} + C$
$\int sinxdx = -cosx + C$	$\int sin(ax + b)dx = -\frac{1}{a} cos(ax + b) + C$
$\int cosxdx = sinx + C$	$\int cos(ax + b)dx = \frac{1}{a} sin(ax + b) + C$
$\int\frac{1}{sin^{2}x} dx = -cotx + C$	$\int\frac{dx}{sin^{2}(ax + b)} = -\frac{1}{a} cot(ax + b) + C$
$\int\frac{1}{cos^{2}x} dx = tanx + C$	$\int\frac{dx}{cos^{2}(ax + b)} = \frac{1}{a} tan(ax + b) + C$
$\int e^{x}dx = e^{x} + C$	$\int e^{ax + b}dx = \frac{1}{a} e^{ax + b} + C$
$\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$	$\int a^{\alpha x + \beta}dx = \frac{1}{\alpha}\frac{a^{\alpha x + \beta}}{\ln a} + C$

Bảng I: Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (C là hằng số tuỳ ý)

1.1 Tính nguyên hàm của đa thức hoặc luỹ thừa

Phương pháp: khai triển đa thức hoặc luỹ thừa, sau đó áp dụng công thức ở bảng I.

Ví dụ minh hoạ: $\int e^{x}(e^{x} + 1)dx = \int (e^{2x} + e^{x})dx = \frac{1}{2} e^{2x} + e^{x} + C$

1.2 Tính nguyên hàm tích các hàm mũ

Phương pháp: Khai triển theo công thức mũ, sau đó áp dụng công thức ở bản I.

Ví dụ minh hoạ: $\int (x^{2} + 2)^{2}dx = \int (x^{4} + 2x^{2} + 1)dx = \frac{x^{5}}{5} + \frac{2x^{3}}{3} + x + C$

1.3 Tính nguyên hàm chứa căn

Phương pháp: chuyển về luỹ thừa, sau đó áp dụng công thức ở bảng I.

Ví dụ minh hoạ: $\int\frac{1}{\sqrt{2x + 1}} dx = \int (2x - 1)^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2}\frac{(2x - 1)^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \sqrt{2x - 1} + C$

1.4 Tính nguyên hàm tích lượng giác bậc một của sin và cosin

Phương pháp: khai triển theo công thức tích thành tổng với các công thức như sau:

Công thức biết đổi tích thành tổng

cosa.cosb = \frac{1}{2}(cos(a + b) + cos(a – b))

sina.sinb = -\frac{1}{2}(cos(a + b) – cos(a – b))

sina.cosb = \frac{1}{2}[sin(a + b) + sin(a – b)]

Ví dụ minh hoạ: $\int (cos2x.cox)dx = \int \frac{1}{2}(cos(3x) +cosx)dx = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}sin3x + sinx) + C$

1.5 Tính nguyên hàm của bậc chẵn của sin và cosin

Phương pháp: Áp dụng công thức hạ bậc như sau:

Công thức hạ bậc

sin^{2}x = \frac{1 – cos2x}{2}

cos^{2}x = \frac{1 + cos2x}2{}

tan^{2}x = \frac{1 – cos2x}{1 + cos2x}

sin^{2}x.cos^{2}x = \frac{1 – cos4x}{8}

sin^{3}x = \frac{3sinx – sin3x}{4}

cos^{3}x = \frac{3cosx + cos3x}{4}

Ví dụ minh hoạ: $\int (sin^{2}x + cos^{3}x)dx = \int (\frac{1 - cos2x}{2} + \frac{3cosx + cos3x}{4})dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} sin2x + \frac{3}{4} sinx + \frac{1}{12} sin3x + C$

2. Bài tập tính nguyên hàm cơ bản có điều kiện

1. Cho hàm số

f(x)

xác định trên

R

\frac{1}{2}

} thỏa mãn

f'(x) = \frac{2}{2x – 1}, f(0) = 1, f(1) = 2

. Giá trị của biểu thức

f(-1) + f(3)

bằng

a. $2 + \ln 5$
b. $3 + \ln 15$
c. $\ln 15$
d. $4 + \ln 15$

2. Cho

F(x)

là nguyên hàm của

f(x) = \frac{1}{x – 1}

trên khoảng

(1;+\infty)

thoả mãn

F(e + 1) = 4

. Tìm F(x).

a. $2\ln (x – 1) + 2$
b. $\ln (x – 1) + 3$
c. $4\ln (x – 1)$
d. $\ln (x – 1) – 3$

3. Cho

F(x)

là nguyên hàm của hàm số

f(x) = \frac{1}{x – 2}

, biết

F(1) = 2.

Gía trị của

F(0)

bằng

a. $2 + \ln 2$
b. $\ln 2$
c. $2 + \ln (-2)$
d. $\ln (-2)$

4. Cho

F(x)

là một nguyên hàm của hàm số

f(x) = e^{x} + 2x

thoả mãn

F(0) = \frac{3}{2}

. Tìm

F(x)

a. $F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{1}{2}$
b. $F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{5}{2}$
c. $F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{3}{2}$
d. $F(x) = 2e^{x} + x^{2} – \frac{1}{2}$

5. Biết

F(x)

là nguyên hàm của hàm số

f(x) = e^{2x}

và

F(0) = 0

. Gía trị

F(\ln 3)

a. 2
b. 6
c. 8
d. 4

6. Tìm nguyên hàm

F(x)

của hàm số

f(x) = sinx + cosx

, thoả mãn

F(\frac{\pi}{2}) = 2

a. $F(x) = -cosx + sinx + 3$
b. $F(x) = -cosx + sinx - 1$
c. $F(x) = -cosx + sinx + 1$
d. $F(x) = cosx - sinx + 3$

7. Cho hàm số

f(x)

thoả mãn

f'(x) = 3 - 5sinx, f(0) = 10

. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

a. $f(x) = 3x - 5cosx + 15$
b. $f(x) = 3x - 5cosx + 2$
c. $f(x) = 3x + 5cosx + 5$
d. $f(x) = 3x + 5cosx + 2$

8. Biết

F(x)

là một nguyên hàm của hàm

f(x) = cos3x

và

F(\frac{\pi}{2}) = \frac{2}{3}.

Tính

F(\frac{\pi}{9})

a. $\frac{\sqrt{3} + 2}{6}$
b. $\frac{\sqrt{3} – 2}{6}$
c. $\frac{\sqrt{3} + 6}{6}$
d. $\frac{\sqrt{3} – 6}{6}$

9. Biết

F(x)

là một nguyên hàm của hàm

f(x) = \frac{1}{cos^{2}x}

và

F(\frac{\pi}{4} + k\pi) = k.

Tính

F(0) + F(\pi) + F(2\pi) +..+ F(10\pi)

a. 55
b. 44
c. 45
d. 0

10. Biết

F(x)

là một nguyên hàm của hàm

f(x) = 2^{x}

và

F(0) = \frac{1}{\ln 2}.

Tính

F(0) + F(1) + F(2) +\dots+F(2019)

a. $\frac{2^{2020} – 1}{\ln 2}$
b. $1009.\frac{2^{2019} – 1}{2}$
c. $2^{2019.2020}$
d. $\frac{2^{2019} – 1}{\ln 2}$

Trên đây là bài viết Phương pháp – bài tập tính nguyên hàm cơ bản có điều kiện chi tiết nhất mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương tích phân để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt