Phương pháp tính nguyên hàm của hàm số hữu tỉ đầy đủ nhất

Quang Thái Tháng Một 1, 2022

Xin chào các bạn, bài học sẽ đem đên cho các bạn những phương pháp tính nguyên hàm của hàm số hửu tỉ cho tường trường hợp khác nhau cũng như sẽ có một số bài tập để các bạn khái quát kiến thức. Hãy theo dõi hết bài viết cùng HocThatGioi nhé.

1. Công thức thường áp dụng khi tính nguyên hàm của hàm số hữu tỉ

Để giải quyết được dạng toán này chúng ta phải nắm bắt một số công thức hay gặp.

Công thức thường áp dụng

\int\frac{1}{ax + b} dx = \frac{1}{a}\ln |ax + b| + C

\int\frac{1}{(ax + b)^{2}} = -\frac{1}{a}\frac{1}{ax + b} + C

\ln a + \ln b = \ln (ab)

\ln a – \ln b = \ln\frac{a}{b}

\ln a^{n} = a\ln a

Dưới đấy là các phương pháp tính nguyên hàm của hàm số hữu tỷ $I = \int\frac{P(x)}{Q(x)} dx$

2. Phương pháp tính nguyên hàm của hàm số hữu tỉ

Dưới đấy là các phương pháp tính nguyên hàm của hàm số hữu tỷ $I = \int\frac{P(x)}{Q(x)} dx$

2.1 Bậc của tử số P(x) $\geq$ mẫu số Q(x)

Phương pháp: Chia đa thức.

Ví dụ minh hoạ:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

f(x) = \frac{x + 2}{x – 1}

trên

(1;+\infty)

là ?

Trên khoảng

(1;+\infty)

, ta có :

\int f(x)dx = \int\frac{x + 2}{x – 1} dx = \int (1 + \frac{3}{x -1})dx = x + 3\ln |x – 1| + C = x + 3\ln (x – 1) + C

2.2 Bậc của tử số P(x) < mẫu số Q(x)

Với trường hợp này chúng ta sẽ xét xem mẫu số Q(x) có nghiệm đơn hay nghiệm bội.

2.2.1 Phương trình Q(x) không có nghiệm phức và các nghiệm đều là nghiệm đơn

Phương pháp:

Q(x) = (a_{1}x + b_{1})(a_{2}x + b_{2}x)...(a_{n}x + b_{n})

Số nhân tử chính bằng bậc của đa thức $Q(x)$ .

Trong trường hợp này chúng ta sẽ biểu diễn $\frac{P(x)}{Q(x)}$ dưới dạng:

\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_{1}}{a_{1}x + b_{1}} + \frac{A_{2}}{a_{2}x + b_{2}} +...+ \frac{A_{n}}{a_{n}x + b_{n}}

Nhận xét: Sau khi biểu diễn dưới dạng này, bài toán trở thành bài toán cơ bản

Ví dụ minh hoạ:

Họ nguyên hàm của hàm số

f(x) = \frac{4x – 3}{x^{2} – 3x + 2}

là ?

Phân tích:
Ta có

\frac{4x – 3}{x^{2} – 3x + 2} = \frac{4x – 3}{(x – 2)(x – 1)} = \frac{A}{x – 1} + \frac{B}{x – 2} = \frac{Ax – 2A + Bx – B}{(x – 1)(x – 2)}

Khi đó

(A + B)x - 2A - B = 4x -3

, đông nhất hệ số thì ta đươc :

\left\{\begin{matrix}A + B = 4\\2A + B = 3\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}A = -1\\B = 5\end{matrix}\right.

Bài giải:
Ta có

\int\frac{4x – 3}{x^{2} – 3x + 2} dx = \int (\frac{1}{x – 1} + \frac{5}{x – 2})dx = -\ln |x – 1| +5\ln |x – 2| + C

2.2.2 Phương trình Q(x) không có nghiệm phức nhưng có nghiệm thực là nghiệm bội

Phương pháp:

Nếu phương trình $Q(x) = 0$ có các nghiệm $a_{1}, a_{2},... a_{n}$ trong đó $a_{1}$ là nghiệm bội $k$ thì ta phân tích $\frac{P(x)}{Q(x)}$ về dạng :

\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_{1}}{x - a_{1}} + \frac{A_{2}}{(x - a_{1})^{2}} +...+ \frac{A_{k}}{(x - a_{1})^{k}} + \frac{B_{1}}{x - a_{2}} + ... + \frac{B_{n + 1}}{x - a_{n}}

Trên đây là lý thuyết phức tạp, chúng ta sẽ đến với ví dụ đơn giản như sau :

Nguyên hàm của hàm số

f(x) = \frac{2x}{(1 – x)^{3}}

là

Nhận thấy

x = 1

là nghiệm bội của phương trình, do đó ta biến đối :

\frac{2x}{(1 – x)^{3}} = \frac{A}{(1 – x)} + \frac{B}{(1 – x)^{2}} + \frac{C}{(1 – x)^{3}} = \frac{A(x^{2} – 2x + 1) + B(1 – x) + C}{(1 – x)^{3}} = \frac{Ax^{2} + (-2A -B)x + A + B + C}{(1 – x)^{3}}

Đồng nhất hệ số ta có:

A = 0; B = -2; C = 2

Ta có :

\int\frac{2x}{(1 – x)^{3}} dx = \int (\frac{-2}{(1 – x)^{2}} + \frac{2}{(1 – x)^{3}})dx = \frac{2}{x – 1} – \frac{1}{(x – 1)^{2}} + C

2.2.3 Phương trình Q(x) vô nghiệm

Phương pháp: Thêm bớt để biến đổi hoặc lượng giác hoá bằng cách đặt $X = arctan$ , nếu $Q(x)$ có dạng $X^{2} + a^{2}$

Ví dụ minh hoạ:

Họ nguyên hàm của

\int\frac{1}{x^{2} + 4x + 7} dx

Dễ thấy

x^{2} + 4x + 7

vô nghiệm, nên ta sẽ đưa về dạng

X^{2} + a^{2}

Ta có

x^{2} + 4x + 7 = (x + 2)^{2} + 3

. Vậy

X = x + 2, a = \sqrt{3}

.
Đặt

x + 2 = \sqrt{3}tant \Rightarrow dx = \sqrt{3}(1 + tan^{2}t)dt

Khi đó

\int\frac{1}{x^{2} + 4x + 7} = \int\frac{1}{(\sqrt{3}tant)^{2} + 3}.(1 + tan^{2}t)dt = \int\frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} t + C = \frac{1}{3} tan^{-1}(\frac{x + 2}{\sqrt{3}}) + C

Trên đây là bài viết Phương pháp tính nguyên hàm của hàm số hữu tỉ đầy đủ nhất mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương tích phân để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt