Trọn bộ lý thuyết giới hạn dãy số siêu dễ

Thảo Nhi Tháng Tư 2, 2022

Giới hạn dãy số là phần lý thuyết rất quan trọng và có nhiều ứng dụng trong học tập và đời sống. Vì vậy các bạn cần nắm rõ lý thuyết để ứng dụng vào bài tập. Vậy còn chần chừ gì nữa hãy cùng HocThatGioi đi tìm hiểu kiến thức về lý thuyết giới hạn ngay trong bài viết này nha!

1.Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số ( $u_n$ ) có giới hạn là 0 khi ( $n$ ) dần tới dương vô cực, nếu | $u_n$ | có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\displaystyle \lim_{ n\to \infty }u_n=0$ hay $\displaystyle \lim u_n=0$ hay $u_n \to 0$ khi $n \to \infty$ .

2.Những giới hạn đặc biệt

$\displaystyle \lim u_n= 0\Leftrightarrow \displaystyle \lim |u_n|=0$ hay $\displaystyle \lim 0=0$
$\displaystyle \lim \frac{1}{n}=0; \displaystyle \lim \frac{1}{n^k}=0,(k>0,k \in \mathbb{N^*}); \displaystyle \lim \frac{1}{\sqrt{n}}=0; \displaystyle \lim \frac{1}{\sqrt[3]{n}}=0$ .
$\displaystyle \lim q^n= 0$ nếu $|q|<1$
Cho 2 dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ nếu $|u_n| \leqslant (v_n)$ với mọi $n$ và $\displaystyle \lim v_n= 0$ thi $\displaystyle \lim u_n= 0$

3.Các định lý về giới hạn hữu hạn

a. Nếu $\displaystyle \lim u_n= a$ và $\displaystyle \lim v_n= b$ và $c$ là hằng số. Khi đó ta có :

$\displaystyle \lim u_n + \displaystyle \lim v_n = a+b$	$\displaystyle \lim u_n + \displaystyle \lim v_n = a+b$
$\displaystyle \lim u_n . \displaystyle \lim v_n = a.b$	$\lim \frac{u_n}{v_n} =\frac{a}{b}$
$\displaystyle \lim (c.u_n) = c.a$	$\displaystyle \lim \|u_n\| = \|a\|$ và $\lim \sqrt[3]{u_n}=\sqrt[3]{a}$

Nếu $u_n \geqslant 0$ với mọi $n \geqslant$ thì $a \geqslant 0$ và $\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$ .

b. Cho ba dãy số $(u_n), (v_n)$ và $(w_n)$ .

Nếu $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ và $\lim u_n= \lim w_n=a, (a \in \mathbb{N} )$ thì $\lim v_n=a$ (gọi là định lí kẹp).

c. Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:

Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.

d. Kỹ năng sử dụng máy tính để tính giới hạn dãy số

Tính $\displaystyle \lim_{ n\to \infty }u_n$ thì nhập $u_n$ và nhấn CACL $n=10^{6}$ .
Tính $\displaystyle \lim_{ n\to -\infty }u_n$ thì nhập $u_n$ và nhấn CACL $n=-10^{6}$ .
Tính $\displaystyle \lim_{ n\to 0 }u_n$ thì nhập $u_n$ và nhấn CACL $n=0.00001$ .

Trên đây là bài viết về Trọn bộ lý thuyết giới hạn dãy số siêu dễ. Qua bài viết này, HocThatGioi hy vọng bạn có thể hiểu rõ và chính xác hơn về giới hạn. Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Giới hạn này để có một kiến thức thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt!