Các dạng bài tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ đầy đủ chi tiết nhất

Ngọc Quốc Tháng Sáu 25, 2021

Tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ bằng phương pháp chia đa thức, phương pháp đồng nhất thức và phương pháp đưa về dạng lượng giác để lấy nguyên hàm. Các bài tập áp dụng.

Tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ có lẽ là một dạng bài rất hay gặp à khá phổ biến trong các đề thi hiện nay. Vì vậy, bài viết ngày hôm nay, HocThatGioi sẽ hướng dẫn cho các bạn tất tần tật các phương pháp để giải bài toán nguyên hàm của hàm số hữu tỉ này. Không những thế, bài viết này còn có những bài tập áp dụng rất hay để các bạn ôn nhớ lâu hơn các kiến thức vừa học nữa đấy!

1. Tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ bằng phương pháp chia đa thức

Các bước tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ bằng phương pháp chia đa thức dễ dàng và nhanh nhất:

Giả sử ta cần tính $I=\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx$ .
Phương pháp chia đa thức được áp dụng khi hàm số cần lấy nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số (Bậc của $P(x) \geqslant$ Bậc của $Q(x)$ ).
Ta sẽ chia tử số cho mẫu số rồi sau đó tiến hành lấy nguyên hàm như bình thường.

Để hiểu rõ hơn về phương pháp trên, các bạn hãy xem và làm thử ví dụ sau để áp dụng ngay phương pháp vừa học ở trên nhé!

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{3x^2-2}{x}$

Nếu các bạn đã hiểu rõ phương pháp chia đa thức và ví dụ trên thì hãy bắt tay ngay vào giải các bài tập áp dụng dưới đây để nhớ lâu hơn và phản xạ tốt khi gặp các bài toán dạng này nhé!

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{x^3+3x^2-5}{x^2}$

a. $\frac{x^2}{2}+3x- \frac{5}{x}+C$
b. $-\frac{x^2}{2}+3x+\frac{5}{3x^3}+C$
c. $\frac{x^2}{2}+3 - \frac{5}{3x^3}+C$
d. $-\frac{x^2}{2}+3x+\frac{5}{x}+C$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{x^5+4x^4+3x-5}{x^3}$

a. $\frac{x^3}{3} - 4x^2 +\frac{3}{x}+\frac{5}{2x^2}+C$
b. $\frac{x^3}{3}-2x^2 -\frac{3}{x}+\frac{5}{2x^2}+C$
c. $\frac{x^3}{3}-2x^2 +\frac{3}{x}+\frac{5}{4x^4}+C$
d. $\frac{x^3}{3}-2x^2 -\frac{3}{x}+\frac{5}{4x^4}+C$

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\frac{-3x^3+2x}{x}$ biết $F(0)=1$ .

a. $-x^3 +2x+1$
b. $-x^3 +2x$
c. $x^3 -2x+1$
d. $-x^3 -2x+2$

2. Tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ bằng phương pháp đồng nhất thức

Các bước tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ bằng phương pháp đồng nhất thức chi tiết

Giả sử hàm số có dạng $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ . Trong đó $Q(x)=(x+m)(x+n)$
Ta đưa $P(x)=ux+v$ về dạng $P(x)=a(x+m)+b(x+n)$
Từ đó suy ra $f(x)=\frac{a}{x+n}+\frac{b}{x+m}$ . Vậy là có thể dễ dàng lấy nguyên hàm rồi.

Tham khảo ví dụ sau đây để hiểu rõ hơn về phương pháp đồng nhất thức trên nhé!

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{2}{x^2-4}$

Nếu đã nắm rõ được phương pháp trên thì còn chờ gì nữa mà không mau xử lí ngay các bài toán dưới đây để xem các bạn đã hiểu tới đâu rồi nào!

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x^2-7x+6}$

a. $\frac{1}{5}ln|\frac{x-6}{x-1}|+C$
b. $\frac{1}{5}ln|\frac{x-1}{x-6}|+C$
c. $\frac{1}{7}ln|\frac{x-6}{x-1}|+C$
d. $\frac{1}{7}ln|\frac{x-1}{x-6}|+C$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{5x+1}{x^2-1}$

a. $2ln|x+1|-3ln|x-1|+C$
b. $3ln|x+1|-2ln|x-1|+C$
c. $3ln|x+1|+2ln|x-1|+C$
d. $2ln|x+1|+3ln|x-1|+C$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{3x}{x^2-3x+2}$

a. $-2ln|x-2|+ln|x-1|+C$
b. $2ln|x-2|+ln|x-1|+C$
c. $-ln|x-2|+2ln|x-1|+C$
d. $ln|x-2|+2ln|x-1|+C$

3. Tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ bằng phương pháp đưa về dạng lượng giác

Đối với các hàm số hữu tỉ mà ta không thể dùng phương pháp chia đa thức và phương pháp đồng nhất thức thì ta sẽ tìm cách đưa nó về các dạng lượng giác, rồi từ đó dựa vào công thức nguyên hàm để lấy nguyên hàm của hàm số đó.

==> Xem các công thức nguyên hàm ở bài viết này của HocThatGioi nhé!

Dưới đây là một ví dụ tiêu biểu về phương pháp đưa về dạng lượng giác để tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x^2-6x+10}$

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Các dạng bài tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ đầy đủ chi tiết nhất. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi nhá. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt để tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!