Xin chào các bạn, bài học hôm nay HocThatGioi sẽ tiếp tục đem đến cho các bạn một dạng toán mà chúng ta hay gặp ở Hình nón đó là sự tạo thành mặt nón, hình nón. Khi nghe tới dạng toán thì vẫn có một số bạn không biết được phương hướng để giải dạng toán này. Vậy nên hãy cùng HocThatGioi theo dõi hết bài học hôm nay để có thể tự tin hơn khi gặp những dạng bài này nhá.
1. Phương pháp giải sự tạo thành mặt nón, hình nón
Với dạng toán này chúng ta chỉ cần nắm chắc sự tạo thành mặt nón, hình nón thì có thể dễ dàng hơn trong việc giải quyết dạng toán này. Sau đây chung ta sẽ nhắc lại khái niệm này.
1.1 Sự tạo thành mặt nón
Sự tạo thành mặt nón
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và \Delta cắt nhau tại điểm O và tạo góc B với 0^{\circ} < B < 90^{\circ}. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh \Delta thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay hay còn gọi là mặt nón.
1.2 Sự tạo thành hình nón
Sự tạo thành hình nón
Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay gọi tắt là hình nón
2. Một số ví dụ sự tạo thành mặt nón, hình nón
Sau đây là một số ví dụ để giúp các bạn nắm rõ hơn về dạng toán sự tạo thành mặt nón, hình nón
2.1 Ví dụ 1 về sự tạo thành mặt nón, hình nón
Hình ví dụ 1
Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:
Nhìn vào hinh vẽ, ta có: r = \frac{a}{2}; l = a => S_{xq} = \pi rl = \frac{\pi a^{2}}{2}
2.2 Ví dụ 2 về sự tạo thành mặt nón, hình nón
Hình ví dụ 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC = a\sqrt{6}. Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là
Ta có: AC = a\sqrt{2} => SA = \sqrt{SC^{2} – AC^{2}} = \sqrt{6a^{2} – 2a^{2}} = 2a
Hình nón tròn xoay được tạo thành là một hình nón có thể tích là: V = \frac{1}{3}\pi R^{2}h = \frac{1}{3}\pi AC^{2}.SA = \frac{4\pi a^{3}}{3}
2.3 Ví dụ 3 về sự tạo thành mặt nón, hình nón
Hình ví dụ 3
Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại A, AB = a\sqrt{10}, BC = 2a. Gọi H là trung điểm của BBC. Tính thể tích của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH ?
Đường sinh l = AB = a\sqrt{10}
Bán kính đáy r = \frac{BC}{2} = a => h = \sqrt{l^{2} – r^{2}} = 3a
Thể tích của hình nón tạo thành V = \frac{1}{3}\pi hr^{2} = \pi a^{3}
3. Bài tập về sự tạo thành mặt nón, hình nón
1. Cho tam giác ABC đều cạnh a quay quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:
Ta có \Delta ABC là tam giác đều cạnh a, nên r = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2} , l = AB = a
Vậy S_{xq} = \pi rl =\pi\frac{a}{2}.a = \frac{a^{2}}{2}\pi
2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh bởi khi quay tam giác quanh trục AC, biết AB = 6, BC = 10 ?
Ta có h = AC =\sqrt{BC^{2} – AC^{2}} = 8, r = AB = 6
Vậy V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{1}{3}\pi 6^{2}. 8 = 96\pi
3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. G là tâm đáy. Tính thể tích khối tròn xoay có được khi quay tam giác SAG quanh SG ?
Ta có hình chóp S.ABCD nên SG vuông góc (ABCD) => \Delta SAG vuông tại G
Khi quay \Delta SAG quanh cạnh SG ta được hình nón với: r = AG = \frac{a\sqrt{2}}{2}, h = SG = \sqrt{SA^{2} – AG^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
Vậy V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \pi a^{3}\frac{\sqrt{2}}{12}
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 (cm), AC = 8 (cm). Gọi V_{1} là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB và V_{2} là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC. Khi đó tỉ số \frac{V_{1}}{V_{2}} bằng:
Khi quay ABC quanh cạnh AB ta được hình nón có: r = AC, h = AB => V_{1} = \frac{1}{3}.AC^{2}.AB = 128 (cm^{3})
Khi quay ABC quanh cạnh AC ta được hình nón có: r = AB, h = AC => V_{2} = \frac{1}{3}.AB^{2}.AC = 96 (cm^{3}) \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{4}{3}
Hình bài 5
5. Hình ABCD khi quay quanh BC thì tạo ra
Gọi O là giao điểm của BC và AD. Khi quay hình ABCD quanh BC tức là tam giác vuông OAB quanh OB và tam giác vuông OCD quanh OC. Mỗi hình quay sẽ tạo ra một hình nón nên hình tạo ra sẽ tạo ra hai hình nón.
6. Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC’ của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b khi quay xung quang trục AA’. Diện tích S là:
Ta có: S = \pi rl với r = b\sqrt{2}; l = b\sqrt{3}. Vậy S = \pi b^{2}\sqrt{6}
7. Cho tứ diện đều ABCD. Khi quay tứ diện đó quanh trục AB có bao nhiêu hình nón khác nhau được tạo thành?
Khi quay ta được hình như dưới, hình này được tạo thành từ hai hình nón
Hình bài 8
8. Cho hình tròn có bán kính là 6. Cắt bỏ \frac{1}{4} hình tròn giữa hai bán kính OA, OB rồi ghép hai bán kính đó lại sao cho thành một hình nón (như hình vẽ). Thể tích khối nón tương ứng đó là:
Ta có: r = \frac{\frac{3}{4}.12\pi}{2\pi} = \frac{9}{2}; h = \sqrt{l^{2} – r^{2}} = \frac{3\sqrt{7}}{2}
Vậy V = \frac{1}{3}\pi^{2}h= \frac{81\pi\sqrt{7}}{8}
9. Cho một hình cầu bán kính 5 cm, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo thành là một đường kính 4 cm. Tính thể tích của khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và đỉnh là tâm hình cầu đã cho. (lấy \pi = 3.14, kết quả làm tròn tới hàng phần trăm).
Ta có: MN = 4(cm) => MA = 2 (cm) => OA = \sqrt{MO^{2} – MA^{2}} = \sqrt{21} (cm); S_{đáy} = \pi R^{2} = 3,14.4 (cm^{2}); V = \frac{1}{3}\sqrt{21}.3,14.4 = 19,185 (ml) = 19, 19 (ml).
10. Hình chữ nhật ABCD có AB = 6, AD = 4. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm bốn cạnh AB,BC, CD, DA. Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật tròn xoay có thể tích bằng:
Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh QN thì tứ giác MNPQ tạo thành hai hình nón bằng nhau.
Với r = \frac{AD}{2} = 2, h = \frac{AB}{2} = 3 => V = 2.\frac{1}{3}\pi r^{2}h = 8\pi.
4. Bài tập tự luyện về sự tạo thành mặt nón, hình nón
Thường thì các bài tập tự luyện, HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn một số bài ở mức vận dụng – vận dụng cao nhé.
1. Cho một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, CD = 4a, cạnh bên AD = BC = 3a. Hãy tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó
Hình bài 2
2. Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính R = 5 và chu vi của hình quạt là P = 8\pi + 10, người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:
Cách 1. Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu
Cách 2. Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu
Gọi V_{1} là thể tích của cái phễu thứ nhất, V_{2} là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách thứ hai. Tính \frac{V_{1}}{V_{2}} ?
Hình bài 3
3. Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một hình cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA, OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?
Trên đây là bài viếtvề Hướng dẫn chi tiết dạng toán sự tạo thành mặt nón, hình nón mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Mặt tròn xoay để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.
Bài viết khác liên quan đến Lớp 12 – Toán – Khái niệm mặt tròn xoay
