Phương pháp giải hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp chi tiết nhất

Quang Thái Tháng Mười Hai 3, 2021

Xin chào các bạn, hôm nay HocThatGioi sẽ trình bày đến các bạn phương pháp giải hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp và một số ví dụ bài tập có lời giải chi tiết để giúp các bạn nắm vững kiến thức hơn. Hãy cùng HocThatGioi theo dõi hết bài viết hôm nay nhé.

1. Phương pháp giải hình nón ngoại tiếp hình chóp

Hình nón ngoại tiếp hình chóp (hình chóp nội tiếp hình nón) thì đỉnh của hình chóp trùng với đỉnh của hình nón và đáy của hình nón là hình tròn ngoại tiếp đáy của hình chóp.

Sau đây là một số trường hợp chúng ta hay gặp trong các đề thi.

1.1 Hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác

Phương pháp giải hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp chi tiết nhất 8 — Hình chóp ngoại tiếp hình chóp tam giác đều

Gọi $h_{nón}, r, l, h_{chóp}$ lần lượt là chiều cao, bán kính, đường sinh của hình nón và chiều cao hình chóp, ta có:

$h_{nón} = h_{chóp} = SO$
Tâm của đường đáy hình nón là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là $O$
Bán kính của hình nón $r = OA = OB = OC$ .
Đường sinh của hình nón $l = SA = SB = SC$

Ví dụ minh hoạ:

Phương pháp giải hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp chi tiết nhất 9 — Hình ví dụ minh hoạ

Thể tích khối nón ngoại tiếp tứ diện đều cạnh

a

là

Gọi

O

là tâm đường tròn ngoại tiếp

\Delta BCD => AO \bot (BCD)

.
Dễ thấy, bán kính đường tròn ngoại tiếp

\Delta BCD

là

OB = \frac{a\sqrt{3}}{3}

.
Suy ra bán kính đáy hình nón là

R = \frac{a\sqrt{3}}{3}

.
Tam giác

ABO

vuông tại

O

, có

AO = \sqrt{AB^{2} – OB^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}

.
Do đó chiều cao của hình nón là

h = AO = \frac{a\sqrt{6}}{3}

1.2 Hính nón ngoại tiếp hính chóp tứ giác

Phương pháp giải hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp chi tiết nhất 10 — Hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác

Gọi $h_{nón}, r, l, h_{chóp}$ lần lượt là chiều cao, bán kính, đường sinh của hình nón và chiều cao hình chóp, ta có:

$h_{nón} = h_{chóp} = SO$
Tâm của đáy đường tròn đáy hình nón là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABCD$ là $O$
Bán kính của hình nón $r = OA = OB = OC = OD$
Đường sinh của hình nón $l = SA = SB = SC = SD$

Ví dụ minh hoạ:

Phương pháp giải hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp chi tiết nhất 11 — Hình ví dụ minh hoạ

Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD

có cạnh đáy bằng

a

. Tam giác

SAB

có diện tích bằng

2a^{2}

. Thể tích khối nón có đỉnh

S

và đường tròn đáy ngoại tiếp tứ giác

ABCD

bằng

Gọi

M

là trung điểm

AB => SM \bot AB => S_{\Delta SAB} = \frac{1}{2} SM.AB

Mà

S_{\Delta SAB} = 2a^{2} => SM = 4a

.
Ta có

\Delta SMO

vuông tại

M

, có

SO = \sqrt{SM^{2} – OM^{2}} = \frac{3\sqrt{7} a}{2}

.
Bán kính đáy hình nón

R = OB = \frac{DB}{2} = \frac{\sqrt{a^{2} + a^{2}}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}

Vậy

V = \frac{1}{3}\pi R^{2}.h = \frac{a\sqrt{7}}{4}

2. Phương pháp giải hình nón nội tiếp hình chóp

Hình nón nội tiếp hình chóp (hình chóp ngoại tiếp hính nón) thì đỉnh của hình chóp trùng với điểm của hình nón và đáy của hình nón là hình tròn nội tiếp đáy của hình chóp

Sau đây là một số trường hợp chúng ta hay gặp trong các đề thi.

2.1 Hình nón nội tiếp hình chóp tam giác

Phương pháp giải hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp chi tiết nhất 12 — Hình nón nội tiếp hình chóp tam giác

Gọi $h_{nón}, r, l, h_{chóp}$ lần lượt là chiều cao, bán kính, đường sinh của hình nón và chiều cao hình chóp, ta có:

$h_{nón} = h_{chóp} = SH$
Tâm của đáy đường tròn đáy hình nón là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$ là $H$
Bán kính của hình nón $r = OA' = OB' = OC'$
Đường sinh của hình nón $l = SA' = SB' = SC'$

Ví dụ minh hoạ:

Phương pháp giải hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp chi tiết nhất 13 — Hình ví dụ minh hoạ

Cho hình chóp tam giác đều

S.ABC

có

SA = AB = a

. Thể tích khối nón đỉnh

S

và có đường tròn đáy nội tiếp tam giác

ABC

bằng

Gọi

O

là tâm đường tròn nội tiếp

\Delta ABC => SO \bot (ABC)

.
Dễ thấy, bán kính đường tròn đáy nội tiếp

R = OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}

.
Tam giác

SAO

vuông tại

O

, có

SO = \sqrt{SA^{2} – OA^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}

.
Vậy

V = \frac{1}{3}\pi R^{2}h = \frac{\sqrt{6}\pi a^{3}}{108}

2.2 Hình chóp nội tiếp hình chóp tứ giác

Phương pháp giải hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp chi tiết nhất 14 — Hình chóp nội tiếp hình chóp tứ giác

Hình nón có : Tâm $O$ , bán kính $r = OM$ , chiều cao $h = SO$ , đường sinh $l = SM$

Ví dụ minh hoạ:

Diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

a

và cạnh bên bằng

4a

là:

Bán kính của đường tròn nội tiếp :

R = OM = \frac{a}{2}

Đường sinh của hình nón :

l = SM = \sqrt{SC^{2} – MC^{2}} = \sqrt{((4a)^{2} – \frac{a^{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{7}}{2}

Vậy

S_{xq} = \pi Rl = \frac{3\sqrt{7}}{4}\pi

(Xem hình nón nội tiếp hình chóp tứ giác)

Trên đây là bài viết Phương pháp giải hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp chi tiết nhất mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Mặt tròn xoay để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.