Lý thuyết nguyên hàm và Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ nhất

Quang Thái Tháng Một 2, 2022

Xin chào các bạn, bài học hôm nay HocThatGioi sẽ giới thiệu tới các bạn một chuyên đề mới đó là nguyên hàm. Đây là một chuyên đề rất quan trong trong chương trình Đại số lớp 12. Với bài học hôm nay các bạn có thể nắm được các kiến thức cơ bản về nguyên hàm cũng như một số công thức nguyên hàm cơ bản. Hãy bắt đầu buổi học hôm nay nhé.

1. Khái niệm nguyên hàm

1.1 Định nghĩa

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $K$ . Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$

Ví dụ: Hàm số $F(x) = x^{2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x$ trên $(-\infty;+\infty)$ vì $F'(x) = 2x = f(x), \forall x \in (-\infty;+\infty)$

1.2 Định lý 1

Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ thì với mỗi hằng số $C$ , hàm số $G(x) = F(x) + C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$

Ví dụ: Hàm số $F(x) = x^{3} + 2$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x$ trên $(-\infty;+\infty)$ vì $F'(x) = 3x = f(x), \forall x \in (-\infty;+\infty)$

1.3 Định lý 2

Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x) + C, C$ là hằng số

Nhận xét: Hai định lý trên cho thấy: Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ thì $F(x) + C, C \in \mathbb{R}$ là họ tất cả nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ . Ký hiệu:

Nguyên hàm của f(x)

\int f(x)d(x) = F(x) + C

Ví dụ: $\int 2xdx = x^{2} + C$

2. Tính chất nguyên hàm

Dưới đây là 3 tính chất của nguyên hàm.

Tính chất 1

\int f'(x) = f(x) + C

Tính chất này được suy ra trực tiếp từ nguyên hàm

Ví dụ 1: $\int (cosx)'dx = \int (-sinx)dx = cosx + C$

Tính chất 2

\int kf(x)dx = k\int f(x)dx

Trong đó:
k là hằng số khác 0

Ví dụ 2: $\int2(2x + 6)dx = 2\int(2x + 6)dx = 2(x^{2} + 6x + C)$

Tính chất 3

\int[f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx

Ví dụ 3: $\int(3sinx + \frac{2}{x})dx = 3\int sinxdx + 2\int\frac{1}{x}dx = -3cosx + 2\ln x + C , \forall x > 0$

3. Bảng công thức nguyên hàm

$\int 0dx = C$	$\int kdx = kx + C$
$\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$	$\int (ax + b)^{n}dx = \frac{1}{a}\frac{(ax + b)^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\int\frac{1}{x} dx = \ln \|x\| + C$	$\int\frac{1}{ax + b} dx = \frac{1}{a}\ln \|ax + b\| + C$
$\int\frac{1}{x^{2}} = -\frac{1}{x} + C$	$\int\frac{1}{(ax + b)^{2}} = -\frac{1}{a}.\frac{1}{ax + b} + C$
$\int sinxdx = -cosx + C$	$\int sin(ax + b)dx = -\frac{1}{a} cos(ax + b) + C$
$\int cosxdx = sinx + C$	$\int cos(ax + b)dx = \frac{1}{a} sin(ax + b) + C$
$\int\frac{1}{sin^{2}x} dx = -cotx + C$	$\int\frac{dx}{sin^{2}(ax + b)} = -\frac{1}{a} cot(ax + b) + C$
$\int\frac{1}{cos^{2}x} dx = tanx + C$	$\int\frac{dx}{cos^{2}(ax + b)} = \frac{1}{a} tan(ax + b) + C$
$\int e^{x}dx = e^{x} + C$	$\int e^{ax + b}dx = \frac{1}{a} e^{ax + b} + C$
$\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$	$\int a^{\alpha x + \beta}dx = \frac{1}{\alpha}\frac{a^{\alpha x + \beta}}{\ln a} + C$

Bảng I: Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (C là hằng số tuỳ ý)

Nhận xét: Khi thay $x$ bằng $ax + b$ thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm $\frac{1}{a}$

Trên đây là bài viết Lý thuyết nguyên hàm và Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ nhất mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương tích phân để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tố