Lý thuyết về nguyên hàm – tổng hợp công thức nguyên hàm đầy đủ và chi tiết nhất

Ngọc Quốc Tháng Năm 6, 2021

Lý thuyết về nguyên hàm, tổng hợp công thức về nguyên hàm đầy đủ nhất, các dạng bài tập về nguyên hàm thường gặp

Bài viết này, HocThatGioi sẽ cung cấp cho các bạn Lý thuyết về nguyên hàm, tổng hợp công thức về nguyên hàm đầy đủ và chi tiết nhất và một số dạng bài tập thường hay gặp trong chương này. Nếu bạn còn đang mơ hồ, chưa hiểu rõ về nguyên hàm thì bài viết dưới đây sẽ giúp các bạn trả lời những thắc mắc mà bạn đang gặp phải. Còn chần chờ gì nữa, hãy cùng HocThatGioi bắt đầu bài học ngay nào!

1. Lý thuyết về nguyên hàm

Tổng hợp lý thuyết từ định nghĩa, các định lí cũng như các tính chất của nguyên hàm dưới đây sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về nguyên hàm.

1.1 Định nghĩa

Giả sử $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ , khi đó hàm số $y=F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f(x)$ khi và chỉ khi $F'(x)=f(x)$ với mọi $x\in(a;b)$ .

Kí hiệu: $F(x)=\int f(x)dx$ .

1.2 Các định lí cần phải nhớ

Định lý 1:

Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ thì với mỗi hằng số $C$ , hàm số $G(x) = F(x) + C$ cũng là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ .

Định lý 2:

Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x) + C$ với $C$ là một hằng số tùy ý.

Định lí 3:

Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$

1.3 Tính chất nguyên hàm

$\int f'(x)dx=f(x)+C,C\in R$

$\int kf(x)dx=k \int f(x)dx$ (với k là hằng số khác 0).

$\int (f(x) ± g(x))dx = \int f(x)dx ± \int g(x)dx$ .

2. Công thức biến đổi nguyên hàm

Tổng hợp những công thức nguyên hàm không thể quên để có thể giải nhanh các bài tập nguyên hàm từ cơ bản, mở rộng đến nâng cao.

2.1 Công thức nguyên hàm cơ bản nhất

Các công thức nguyên hàm cơ bản nhất cần phải thuộc lòng khi bước vào phòng thi.

$\int dx =x+C$ .
$\int kdx = kx+C$
$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.(n \neq 0)$
$\int \frac{1}{x}dx=ln|x| +C.(x \neq 0)$
$\int \frac{1}{x^2}=-\frac{1}{x}+C.(x \neq 0)$
$\int \frac{1}{x^n}=-\frac{1}{(n-1) x^{n-1}}+C.(x \neq 0)$
$\int e^x dx = e^x+C$ .
$\int a^x dx=\frac{a^x}{lna}+C.(0 < a \neq 1)$ .
$\int cosx dx=sinx+C$
$\int sinx dx =-cosx +C$
$\int \frac{1}{cos^2x}dx=\int (1+tan^2x)dx= tanx +C$
$\int \frac{1}{sin^2x}dx=\int (1+cot^2x)dx= -cotx +C$
$\int \frac {1}{\sqrt x}= 2\sqrt x +C$

2.2 Công thức nguyên hàm mở rộng

Các công thức được mở rộng từ các công thức cơ bản sẽ rất hữu ích và tiết kiệm được nhiều thời gian khi làm bài.

$\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C.(a\neq 0, n \neq -1)$
$\int \frac{1}{ax+b}dx= \frac{1}{a} ln(ax+b)+C.(a \neq 0)$
$\int e^{ax+b}dx =\frac{1}{a}e^{ax+b}+C.(a \neq 0)$
$\int cos(ax+b)dx=\frac{1}{a}sin(ax+b)+C.(a \neq 0)$
$\int sin(ax+b)dx=-\frac{1}{a}cos(ax+b)+C.(a \neq 0)$
$\int \frac{1}{cos^2(ax+b)}dx=\frac{1}{a}tan(ax+b)+C.(a \neq 0)$
$\int \frac{1}{sin^2(ax+b)}dx=-\frac{1}{a}cot(ax+b)+C.(a \neq 0)$
$\int tanx dx=-ln |cosx| +C$
$\int cotx dx=ln |sinx| +C$
$\int tan(ax+b) dx=-\frac{1}{a}ln |cos(ax+b)| +C. (a \neq 0)$
$\int cot(ax+b) dx=\frac{1}{a}ln |sin(ax+b)| +C. (a \neq 0)$

2.3 Công thức nguyên hàm nâng cao

Công thức nâng cao để áp dụng vào các bài toán thang 8+ sẽ giúp các bạn dễ dàng vượt qua các câu khó

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C. (a \neq 0)$
$\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}ln |\frac{a+x}{a-x}|+C. (a \neq 0)$
$\int \frac{dx}{ \sqrt{x^2+a^2}}=ln (x+ \sqrt{x^2+a^2})+C$
$\int \frac{dx}{ \sqrt{a^2-x^2}}=arcsin \frac{x}{|a|}+C$
$\int \frac{dx}{ x \sqrt{x^2-a^2}}= \frac{1}{a} arccos |\frac{x}{a}| +C$
$\int \frac{dx}{ x \sqrt{x^2+a^2}}= \frac{1}{a}ln | \frac{a+ \sqrt{x^2+a^2}}{x}|+C$
$\int ln(ax+b)dx=(x+ \frac{b}{a})ln(ax+b)-x+C$
$\int \sqrt{a^2-x^2}dx =\frac{x \sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}arcsin \frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{sin(ax+b)}=\frac{1}{a} ln \frac{tan(ax+b)}{2}+C$
$\int e^{ax}cosbx dx= \frac{e^{ax}(acosbx+bsinbx)}{a^2+b^2}+C$
$\int e^{ax}sinbx dx= \frac{e^{ax}(asinbx-bcosbx)}{a^2+b^2}+C$

3. Các dạng toán nguyên hàm

Tất tần tật các dạng toán nguyên hàm thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia, các bạn hãy click vào để xem chi tiết hơn về các dạng này nhé!

3.1 Dạng 1: Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm

Bài toán: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ : Nhóm công thức cơ bản.
Bài toán: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ : Nhóm công thức mở rộng.
Bài toán: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ : Nhóm công thức nâng cao.

3.2 Dạng 2: Nguyên hàm của số hữu tỷ

Bài toán: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ : Nhóm hàm hữu tỉ bằng phương pháp chia đa thức
Bài toán: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ : Nhóm hàm hữu tỉ bằng phương pháp đồng nhất hoá
Bài toán: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ : Nhóm hàm hữu tỉ bằng phương pháp đưa về dạng lượng giác

3.3 Dạng 3: Nguyên hàm từng phần

Bài toán: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cơ bản.
Bài toán: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ bằng phương pháp nguyên hàm từng phần nâng cao.

3.4 Dạng 4: Nguyên hàm đổi biến số

Bài toán: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ : Nhóm hàm số mũ.
Bài toán: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ : Nhóm hàm số chứa căn thức.
Bài toán: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ : Nhóm hàm số chứa logarit.
Bài toán: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ : Nhóm hàm số chứa $e^x$ .
Bài toán: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ : Đổi biến hàm số lượng giác.

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Lí thuyết về nguyên hàm, tổng hợp công thức về nguyên hàm đầy đủ và chi tiết nhất. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!