Phương pháp giải bất phương trình Lôgarit dễ hiểu nhất

Quang Thái Tháng Mười Hai 24, 2021

Hôm nay HocThatGioi sẽ đem đên các bạn những phương pháp thường gặp để có thể giải quyết một bài toán bất phương trình Lôgarit một các dễ dàng. Ngoài ra sẽ có một số ví dụ giúp các bạn thành thạo hơn trong việc áp dụng các phương pháp này. Hãy theo dõi hết bài học hôm nay nhé.

1. Định nghĩa bất phương trình lôgarit

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng

\log_{a}f(x) > b

\log_{a}f(x) \geq b

\log_{a}f(x) < b

\log_{a}f(x) \leq b

Trong đó:

a, b > 0, a \neq 1

Ví dụ: $\log_{2}(4x + 2) > 2$

2. Phương pháp giải bất phương trình Lôgarit

Về phương pháp bất phương trình Lôgarit thì sẽ có rất nhiều cách. Nhưng HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn những phương pháp hay gặp nhất.

2.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

Đưa về cùng cơ số với

a > 1

phương trình Lôgarit

\log_{a}f(x) > log_{a}g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}g(x) > 0\\f(x) > g(x)\end{matrix}\right.

Trong đó:

a > 1

Đưa về cùng cơ số với

0 < a < 1

của bất phương trình Lôgarit

\log_{a}f(x) > log_{a}g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}f(x) > 0\\f(x) < g(x)\end{matrix}\right.

Trong đó:

0 < a < 1

Các dạng $\log_{a}f(x) \geq \log_{a}g(x), \log_{a}f(x) < \log_{a}g(x), \log_{a}f(x) \leq \log_{b}g(x)$ tương tự

Ví dụ minh hoạ 1:

Giaỉ phương trình

\log_{2}(2x – 1) > \log_{2}(2 – x)

\log_{2}(2x – 1) > \log_{2}(2 – x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2 – x > 0\\2x – 1 > 2 – x\end{matrix}\right. \Rightarrow 1 < x < 2

Ví dụ minh hoạ 2:

Giaỉ phương trình

\log_{\frac{1}{2}}(2x – 1) > \log_{\frac{1}{2}}(2 – x)

\log_{\frac{1}{2}}(2x – 1) > \log_{\frac{1}{2}}(2 – x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x – 1 > 0\\ 2x – 1 < 2 – x\end{matrix}\right. \Rightarrow \frac{1}{2} < x < 1

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Bất phương trình có dạng: $m\log_{a}^{2}f(x) + n\log_{a}f(x) + p > 0$ .

Cách giải: Đặt $t = \log_{a}f(x)$ . Khi đó phương trình có dạng $mt^{2} + nt + p$ . Tìm $t \Rightarrow x$ .

Ví dụ minh hoạ:

Cho phương trình

2\log_{4}(x^{2} – x) + 3\sqrt{\log_{4}(x – 1)^{2}} – 2\log_{4}x > 4

. Nghiệm của phương trình là ?

Điều kiện

x \geq 2

Ta có phương trình đã cho tương đương với:

2\log_{4}(x(x – 1)) +3\sqrt{\log_{4}(x – 1)^{2}} – 2\log_{4}x > 4 \Leftrightarrow 2\log_{4}(x – 1) + 3\sqrt{2\log_{4}(x – 1)} – 4 > 0

.
Đặt

t = \sqrt{2\log_{4}(x – 1)}, t > 0

Phương trình trở thành:

t^{2} + 3t – 4 > 0\Leftrightarrow t > 1, t 1 \Rightarrow \sqrt{2\log_{4}(x – 1)} > 1 \Rightarrow x > 3

2.3 Phương pháp mũ hoá

Phương pháp mũ hoá

\log_{a}(f(x)) < g(x) \Leftrightarrow f(x) < a^{g(x)}

\log_{a}(f(x)) \leq g(x) \Leftrightarrow f(x) \leq a^{g(x)}

\log_{a}(f(x)) > g(x) \Leftrightarrow f(x) > a^{g(x)}

\log_{a}(f(x)) \geq g(x) \Leftrightarrow f(x) \geq a^{g(x)}

Trong đó:

a > 0; a\neq 1

Ví dụ minh hoạ:

Giải bất phương trình sau

\log_{3}(3^{2x} +2) > x + 1

Tập xác định

D = \mathbb{R}

\log_{3}(3^{2x} +2) > x + 1 \Leftrightarrow 3^{2x} + 2 > 3^{x + 1} \Leftrightarrow 3^{2x} + 2 > 3.3^{x} \Leftrightarrow 3^{2x} -3.3^{x} + 2 > 0

\Rightarrow 3^{x} 2 \Rightarrow x \log_{3}2

Trên đây là bài viế Phương pháp giải bất phương trình Lôgarit dễ hiểu nhất mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Hàm số mũ – Hàm số logarit để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt