Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian siêu chi tiết.

Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (\alpha)  và d song song với đường thẳng d'  nằm trong (\alpha) thì d song song với (\alpha) .

Vậy \left\{\begin{matrix} d \nsubseteq (\alpha)\\ d'//d \\ d'\subseteq (\alpha ) \end{matrix}\right. \Rightarrow d //(\alpha) .

Cho đường thẳng d  song song với mặt phẳng (\alpha) . Nếu mặt phẳng (\beta)  đi qua d và cắt (\alpha)  theo giao tuyến d' thì d//d'

Vậy \left\{\begin{matrix} d// (\alpha)\\ d\subset (\beta )\\ (\alpha )\cap (\beta ) \end{matrix}\right. \Rightarrow d'//d

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy \left\{\begin{matrix} (\alpha)// d \\ (\beta )// d \\ (\alpha )\cap (\beta )=d' \end{matrix}\right. \Rightarrow d //d'

Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

d vuông góc với mặt phẳng (\alpha) nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong (\alpha)

Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

Ta có: \left\{\begin{matrix} a \neq b \\ a \bot (P) , b \bot (P) \end{matrix}\right. \Rightarrow a//b

Ngược lại nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó sẽ vuông góc với đường thẳng còn lại.

Ta có: \left\{\begin{matrix} a \\ b // a \bot (P) \end{matrix}\right. \Rightarrow b \bot (P)

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì nó vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Ta có: \left\{\begin{matrix} (\alpha) // (\beta) \\ a \bot (\alpha) \end{matrix}\right. \Rightarrow a// (\beta)

Nếu một đường thẳng cùng vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

Ta có: [ Ta có: \left\{\begin{matrix} (\alpha) \neq (\beta) \\ a \bot (\alpha) , a \bot (\beta) \end{matrix}\right. \Rightarrow (\alpha) // (\beta)

Nếu một đường thẳng song song với mặt phẳng thì chúng sẽ cùng vuông góc với một đường thẳng.

Ta có: \left\{\begin{matrix} a// (\alpha) \\ b \bot (\alpha) \end{matrix}\right. \Rightarrow b \bot a

Ngược lại nếu một đường và một mặt phẳng (không hcuwas đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

Ta có: \left\{\begin{matrix} a \nsubseteq  (\alpha) \\ a \bot b, b \bot (\alpha) \end{matrix}\right. \Rightarrow a // (\alpha)