Toán lớp 12

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian siêu chi tiết.

Trong bài này, HocThatGioi sẽ giới thiệu cho các bạn về Các vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng từ đó xây dựng lý thuyết đường thẳng song song với mặt phẳng, bài viết sẽ giúp các bạn biết được các vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như cách để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng một cách đơn giản và dễ hiểu nhất nhé!

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (\alpha) , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng  là:

  • d song song với (\alpha)[ , kí hiệu d// (\alpha) hoặc (\alpha)//d. (hình 1)
  • d (\alpha) cắt nhau tại M kí hiệu M=d \cap (\alpha) . ( hình 2)
  • d nằm trong (\alpha) , kí hiệu d \subset (\alpha) . (hình 3)
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

2. Các định lý và tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng

Định lý 1:

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian siêu chi tiết. 9

Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (\alpha)  và d song song với đường thẳng d'  nằm trong (\alpha) thì d song song với (\alpha) .

Vậy \left\{\begin{matrix} d \nsubseteq (\alpha)\\ d'//d \\ d'\subseteq (\alpha ) \end{matrix}\right. \Rightarrow d //(\alpha) .

Định lí 2

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian siêu chi tiết. 10

Cho đường thẳng d  song song với mặt phẳng (\alpha) . Nếu mặt phẳng (\beta)  đi qua d và cắt (\alpha)  theo giao tuyến d' thì d//d'

Vậy \left\{\begin{matrix} d// (\alpha)\\ d\subset (\beta )\\ (\alpha )\cap (\beta ) \end{matrix}\right. \Rightarrow d'//d

Định lí 3

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian siêu chi tiết. 11

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy \left\{\begin{matrix} (\alpha)// d \\ (\beta )// d \\ (\alpha )\cap (\beta )=d' \end{matrix}\right. \Rightarrow d //d'

Hệ quả

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian siêu chi tiết. 12

Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

3. Các định lý và tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Định lý

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian siêu chi tiết. 13

d vuông góc với mặt phẳng (\alpha) nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong (\alpha)

\left\{\begin{matrix} d \bot a \\ d \bot b \\ a, b  \subset (\alpha) , a \cap b=I \end{matrix}\right. \Rightarrow d \bot (\alpha)

Tính chất 1

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian siêu chi tiết. 14

Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

Ta có: \left\{\begin{matrix} a \neq b \\ a \bot (P) , b \bot (P) \end{matrix}\right. \Rightarrow a//b

Ngược lại nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó sẽ vuông góc với đường thẳng còn lại.

Ta có: \left\{\begin{matrix} a \\ b // a \bot (P) \end{matrix}\right. \Rightarrow b \bot (P)

Tính chất 2

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian siêu chi tiết. 15

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì nó vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Ta có: \left\{\begin{matrix} (\alpha) // (\beta) \\ a \bot (\alpha) \end{matrix}\right. \Rightarrow a// (\beta)

Nếu một đường thẳng cùng vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

Ta có: [ Ta có: \left\{\begin{matrix} (\alpha) \neq (\beta) \\ a \bot (\alpha) , a \bot (\beta) \end{matrix}\right. \Rightarrow (\alpha) // (\beta)

Tính chất 3

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian siêu chi tiết. 16

Nếu một đường thẳng song song với mặt phẳng thì chúng sẽ cùng vuông góc với một đường thẳng.

Ta có: \left\{\begin{matrix} a// (\alpha) \\ b \bot (\alpha) \end{matrix}\right. \Rightarrow b \bot a

Ngược lại nếu một đường và một mặt phẳng (không hcuwas đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

Ta có: \left\{\begin{matrix} a \nsubseteq  (\alpha) \\ a \bot b, b \bot (\alpha) \end{matrix}\right. \Rightarrow a // (\alpha)

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Nắm trọn kiến thức cơ bản về các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực hay góp ý cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!

Bài viết khác liên quan đến Đường thẳng mặt phẳng trong không gian
Back to top button
Close