Lý thuyết mặt nón và mặt trụ hay đầy đủ nhất

Ngọc Quốc Tháng Năm 9, 2021

Lý thuyết mặt nón và mặt trụ, công thức tính diện tích xung quanh, diện tích đáy, diện tích toàn phần, thể tích, ...

Có lẽ trong cuộc sống thường ngày, ta đã từng bắt gặp những vật dụng như cái nón, viên phấn, trái bóng,… Đó chính là những vật có dạng tròn xoay. Vậy mặt tròn xoay là gì? Mặt tròn xoay là một bề mặt trong không gian Euclid bằng cách quay một đường cong (đường sinh) quanh một trục cố định. Trong bài viết ngày hôm nay, HocThatGioi sẽ cùng các bạn tìm hiểu về Lý thuyết mặt nón và mặt trụ. Cùng bắt đầu bài học ngay nào!

1. Lý thuyết mặt nón

Lý thuyết mặt nón và mặt trụ hay đầy đủ nhất 3

1.1 Mặt nón tròn xoay

Trong mặt phẳng $(P)$ , cho 2 đường thẳng $d,Δ$ cắt nhau tại $O$ và chúng tạo thành góc $β$ với $0^0 < β \leq 90^0$ . Khi quay $mp$ $(P)$ xung quanh trục $Δ$ với góc $β$ không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh $O$ (hình 1).

Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
Đường thẳng $Δ$ gọi là trục, đường thẳng $d$ được gọi là đường sinh và góc $2β$ gọi là góc ở đỉnh.

1.2 Hình nón tròn xoay

Cho $ΔOIM$ vuông tại $I$ quay quanh cạnh góc vuông $OI$ thì đường gấp khúc $OIM$ tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).

Đường thẳng $OI$ gọi là trục, $O$ là đỉnh, $OI$ gọi là đường cao và $OM$ gọi là đường sinh của hình nón.
Hình tròn tâm $I$ , bán kính $r = IM$ là đáy của hình nón.

1.3 Công thức diện tích hình nón và thể tích khối nón

Cho hình nón có chiều cao là $h$ , bán kính đáy $r$ và đường sinh là $l$ thì có:

Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi rl$
Diện tích đáy: $S_đ=\pi r^2$
Diện tích toàn phần $S_{tp}=S_{xq}+S_đ=\pi rl + \pi r^2$
Thể tích khối nón: $V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$

1.4 Tính chất mặt phẳng cắt mặt nón

Mặt phẳng cắt mặt nón thường rơi vào 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi $mp$ $(P)$ đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

Nếu $mp$ $(P)$ cắt mặt nón theo 2 đường sinh ⇒ Thiết diện là tam giác cân.
Nếu $mp$ $(P)$ tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

Trường hợp 2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi $mp$ $(Q)$ không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

Nếu $mp$ $(Q)$ vuông góc với trục hình nón ⇒ giao tuyến là một đường tròn.
Nếu $mp$ $(Q)$ song song với 2 đường sinh hình nón giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
Nếu $mp$ $(Q)$ song song với 1 đường sinh hình nón giao tuyến là 1 đường parabol.

2. Lý thuyết mặt trụ

Lý thuyết mặt nón và mặt trụ hay đầy đủ nhất 4 — Mặt trụ

2.1 Mặt trụ tròn xoay

Trong $mp$ $(P)$ cho hai đường thẳng $Δ$ và $l$ song song nhau, cách nhau một khoảng $r$ . Khi quay $mp$ $(P)$ quanh trục cố định $Δ$ thì đường thẳng $l$ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.

Đường thẳng $Δ$ được gọi là trục.
Đường thẳng $l$ được gọi là đường sinh.
Khoảng cách $r$ được gọi là bán kính của mặt trụ.

2.2 Hình trụ tròn xoay

Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh $AB$ thì đường gấp khúc $ABCD$ tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.

Đường thẳng $AB$ được gọi là trục.
Đoạn thẳng $CD$ được gọi là đường sinh.
Độ dài đoạn thẳng $AB = CD = h$ được gọi là chiều cao của hình trụ.
Hình tròn tâm $A$ , bán kính $r = AD$ và hình tròn tâm $B$ , bán kính $r = BC$ được gọi là 2 đáy của hình trụ.
Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.

2.3 Công thức tính diện tích hình trụ và thể tích khối trụ

Cho hình trụ có chiều cao $h$ là và bán kính đáy bằng $r$ , khi đó:

Diện tích xung quanh của hình trụ: $S_{xq}=2 \pi r h$
Diện tích đáy: $S_đ=\pi r^2$
Diện tích toàn phần của hình trụ: $S_{tp}=S_{xq}+2S_đ=2 \pi r h +2\pi r^2$
Thể tích khối trụ: $V=\pi r^2 h$

2.4 Tính chất

Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là $r$ ) bởi một $mp$ $(α)$ vuông góc với trục $Δ$ thì ta được đường tròn có tâm trên $α$ và có bán kính bằng $r$ với $r$ cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.

Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là $r$ ) bởi một $mp$ $(α)$ không vuông góc với trục $Δ$ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2 $r$ và trục lớn bằng $\frac{2r}{sinφ}$ , trong đó $φ$ là góc giữa trục $Δ$ và mp $(α)$ với $0^0< φ < 90^0$ .

Cho $mp$ $(α)$ song song với trục $Δ$ của mặt trụ tròn xoay và cách $Δ$ một khoảng $d$ .

Nếu $d<r$ thì $mp$ $(α)$ cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện là hình chữ nhật.
Nếu $d=r$ thì $mp$ $(α)$ tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
Nếu $d >r$ thì $mp$ $(α)$ không cắt mặt trụ.

Các dạng bài về khối nón, khối trụ tròn xoay

Tính thể tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần,… của khối nón.
Bài toán khối nón ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện (hình chóp).
Bài toán khối nón nâng cao (bài toán liên quan đến cực trị, bài toán thực tế).
Tính thể tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần,… của khối trụ tròn xoay.
Bài toán khối trụ tròn xoay ngoại tiếp nội tiếp khối đa diện (hình lăng trụ,…).
Bài toán khối trụ tròn xoay nâng cao (bài toán liên quan đến cực trị, bài toán thực tế).

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Lý thuyết mặt nón và mặt trụ hay đầy đủ nhất. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!