Tương giao giữa hình trụ và mặt phẳng, đường phẳng

Chào các bạn, hôm nay HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn phương pháp giải và môt số bài tập dạng toán Tương giao giữa hình trụ và mặt phẳng, đường phẳng, đây là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi ở mức 8-10đ. Hãy cùng HocThatGioi bắt đầu buổi học hôm nay nhé!

1. Phương pháp giải tương giao giữa hình trụ và mặt phẳng, đường thẳng

Đa số dạng toán này thì thiết diện tương giao giữa hình trụ và mặt phẳng, đường thẳng thường là Hình chữ nhật và Hình vuông. Thiết diện qua trục là Hình chữ nhật hoặc Hình vuông có 1 cạnh bằng chiều cao của Hình trụ và 1 cạnh bằng 2 lần bán kính của đáy trụ.

Cách xác định góc giữa đường thẳng và trục của hình trụ:

Để xác định góc giữa hai đường thẳng PB' và OO' (trục), ta thực hiện các bươc như sau:

• Chọn điểm của B' của đường thẳng PB'.

• Từ điểm B' kẻ đường thẳng B'B song song với OO' (trục).

• Lúc đó, góc giữa hai đường thẳng PB' và OO' là \widehat{BB'P}.

2. Một số ví dụ về tương giao giữa hình trụ và mặt phẳng, đường thẳng

Sau đây là một số ví dụ giúp các bạn nắm rõ hơn về phương pháp của dạng toán này.

2.1 Ví dụ 1 về tương giao hình trụ và mặt phẳng, đường thẳng

2.2 Ví dụ 2 về tương giao hình trụ và mặt phẳng, đường thẳng

3. Bài tập về tương giao giữa hình trụ và mặt phẳng, đường thẳng

1. Cho hình trụ có chiều cao h = 2 bán kính đáy r = 3. Một mặt phẳng (P) không vuông góc với đáy của hình trụ, làn lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB, CD sao cho ABCD là hình vuông. Tính diện tích S của hình vuông ABCD :

• a. 12\pi
• b. 12
• c. 20
• d. 20\pi

Xem bài giải

Kẻ đường BB’ của hình trụ. Đặt độ dài cạnh của hình vuông ABCD là x, x > 0.
Do \left\{\begin{matrix} CD \perp BC \\CD \perp BB’ \end{matrix}\right.
=> CD \perp B’C => \Delta B’CD vuông tại C. Khi đó, B’D là đường kính của đường tròn O’. Xét \Delta B’CD vuông tại C
=> B’D^{2} = CD^{2} + CB’^{2} => 4\pi^{2} = x^{2} – CB^{2} (1)
Xét \Delta BB’C vuông tại B
=> BC^{2} = BB’^{2} + CB’^{2} => x^{2} = h^{2} + CB’^{2} (2)
Từ (1), (2) => x^{2} = \frac{4r^{2} + h^{2}}{2} = 20.
Suy ra diện tích hình vuông ABCD là S = 20

2. Cho hình trụ có các đường tròn đáy là (O) và (O’), bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Các điểm A, B lần lượt thuộc các đường tròn đáy (O) và (O’) sao cho AB = a\sqrt{3}. Thể tích của khối tứ diện ABOO’ là :

• a. \frac{a^{3}}{2}
• b. \frac{a^{3}}{3}
• c. \frac{a^{3}}{6}
• d. a^{3}

Xem bài giải

Tam giác AA’B vuông tại A’ suy ra A’B = \sqrt{AB^{2} – AA’^{2}} = a\sqrt{2}.
Suy ra tam giác O’A’B vuông tại O’. Suy ra BO’ vuông góc với O’A
Suy ra BO’ vuông góc với (AOO’). V_{ABOO’} = \frac{1}{3} BO’.S_{AOO’} = \frac{a^{3}}{6}.

4. Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45^{\circ}. Diện tích xung quanh S_{xq} hình trụ và thể tích V của khối trụ là:

• a. S_{xq} = \frac{\pi a^{2}\sqrt{3}}{3}; V = \frac{3a^{3}\sqrt{2}}{8}
• b. S_{xq} = \frac{\pi a^{2}\sqrt{2}}{3}; V = \frac{3a^{3}\sqrt{2}}{32}
• c. S_{xq} = \frac{\pi a^{2}\sqrt{3}}{4}; V = \frac{3a^{3}\sqrt{3}}{16}
• d. S_{xq} = \frac{\pi a^{2}\sqrt{2}}{2}; V = \frac{3a^{3}\sqrt{2}}{16}

Xem bài giải

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB và CD. Khi đó OM \perp AB và O’N \perp DC.
Gỉa sử I là giao điểm của MN, OO’. Đặt R = OA, h = OO’
Trong \Delta IOM vuông cân tại I nên OM = OI = \frac{\sqrt{2}}{2} IM => \frac{h}{2} =\frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{a}{2} => h = \frac{\sqrt{2}}{2} a.
Ta có: R^{2} = OA^{2} + AM^{2} + MO^{2} = \frac{3a^{2}}{8}. => S_{xq} = 2\pi Rh = 2\pi\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi a^{2}\sqrt{3}}{2}. V =\pi R^{2}h = \frac{3\sqrt{2} a^{3}}{16}

6. Một hình trụ có 2 đáy là 2 hình tròn tâm O và O’ và có bán kính r = 5. Khoảng cách giữa 2 đáy là OO’ = 8. Gọi (a) là mặt phẳng qua trung điểm của đoạn OO’ và tạo với đường thẳng OO’ một góc 60^{\circ}. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (a) và hình trụ.

• a. 24\sqrt{2}
• b. 48\sqrt{2}
• c. 36\sqrt{2}
• d. 36

Xem bài giải

Gọi H là trung điểm của CD khi đó \widehat{OO’;(a)} = \widehat{OIH}
Khi đó OH = OItan45^{\circ} = 4 => CH = \sqrt{OC^{2} – OH^{2}} = 3
Suy ra CD = 2CH = 6. Mặt khác IH = \frac{OH}{cos45^{\circ}} = 4\sqrt{2} => HK = 8\sqrt{2}
S_{td} = HK.CD = 48\sqrt{2}

10. Cho hai mặt trụ có cùng bán kính bằng 4 được đặt lồng vào nhau như hình vẽ. Tính thể tích phần chung của chúng biết hai mặt trụ vuông góc và cắt nhau

• a. 512
• b. 256
• c. 1024
• d. \frac{1024}{3}

Xem bài giải

Như vậy bài học Tương giao giữa hình trụ và mặt phẳng, đường phẳng đến đây đã kết thúc. Hi vọng bài học hôm nay sẽ giúp các bạn tự tin hơn với những bài toán VD – VDC về Hình trụ trong các đề thi.  Đừng quên Like và Share để giúp HocThatGioi ngày càng phát triển . Cuối cùng, cảm ơn tất cả các bạn đã theo dõi hết bài viết nhé!

Bài viết khác liên quan đến Lớp 12 – Toán – Khái niệm mặt tròn xoay

• Lý thuyết mặt nón và mặt trụ hay đầy đủ nhất
• Lý thuyết Hình nón cụt và bài tập chi tiết dễ hiểu nhất
• 20 câu trắc nghiệm bài tập Hình nón dễ hiểu có lời giải chi tiết
• Tổng hợp các câu trắc nghiệm Hình nón vận dụng – vận dụng cao có lời giải
• 20 câu trắc nghiệm bài tập Hình trụ dễ hiểu có lời giải chi tiết nhất
• Dạng toán sự tạo thành mặt trụ, hình trụ – hướng dẫn giải và bài tập
• Dạng toán sự tạo thành mặt nón, hình nón – hướng dẫn giải và bài tập
• Lý thuyết mặt tròn xoay – mặt nón và mặt trụ chi tiết nhất
• Dạng toán tương giao giữa hình nón và mặt phẳng – hướng dẫn giải và bài tập
• Dạng toán mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp lăng trụ – hướng dẫn giải và bài tập
• Tổng hợp bài tập hình nón ngoại tiếp nội tiếp có lời giải chi tiết nhất
• Tổng hợp các câu bài tập mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp có lời giải chi tiết nhất
• Phương pháp giải hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp chi tiết nhất
• Phương pháp giải hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình trụ chi tiết nhất