Toán lớp 12

Dạng toán sự tạo thành mặt trụ, hình trụ – hướng dẫn giải và bài tập

Quang Thái Tháng Mười Một 22, 2021
0

Chào các bạn, hôm nay HocThatGioi sẽ tiếp tục đem đến cho các bạn một dạng toán không chỉ thường xuyên xuất hiện trong bài thì mà chúng ta còn hay gặp trong cuộc sống đó là sự tạo thành mặt trụ, hình trụ. Cùng HocThatGioi theo dõi hết bài học hôm nay nhá.

1. Phương pháp giải sự tạo thành mặt trụ, hình trụ

Với dạng toán này chúng ta chỉ cần nắm chắc sự tạo thành mặt trụ, hình trụ, khối trụ thì có thể dễ dàng hơn trong việc giải quyết dạng toán này. Sau đây chung ta sẽ nhắc lại khái niệm này.

1.1 Sự tạo thành mặt trụ:

Sự tạo thành mặt trụ
Sự tạo thành mặt trụ

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng \Delta và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh \Delta thì đường thẳng l sinh ra một mặt trụ tròn xoay gọi tắt là mặt trụ.

1.2 Sự tạo thành hình trụ

Sự tạo thành hình trụ
Sự tạo thành hình trụ

Ta xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay hay còn gọi tắt là hình trụ.

2. Ví dụ về sự tạo thành mặt trụ, hình trụ

Để dễ giúp các bạn hình dung hơn, chúng ta sẽ bắt đầu một số ví dụ.

2.1 Ví dụ 1 về sự tạo thành mặt trụ, hình trụ

Hình ví dụ 1
Hình ví dụ 1
Cho hình chữ nhật ABCD cạnh AB = 6, AD = 4 quay quanh AB ta được hình trụ có diện tích xung quanh bằng ?
    Ta có:
    AB = 6 = h, AD = 4 = R => S_{xq} = 2\pi.4.6 = 48\pi

    2.2 Ví dụ 2 về sự tạo thành mặt trụ, hình trụ

    Hình ví dụ 2
    Hình ví dụ 2
    Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, AD = 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần S_{tp} của hình trụ đó là ?
      Theo giả thiết, ta có:
      AB = 1 = h, R = \frac{AD}{2} = 1 => S_{tp} = 2\pi.1.1 + 2\pi.1^{2} = 4\pi

      2.3 Ví dụ 3 về sự tạo thành mặt trụ, hình trụ

      Hình ví dụ 3
      Hình ví dụ 3
      Một hình thang vuông ABCD có đường cao AD = \pi, đáy nhỏ AB = \pi, đáy lớn CD = 2\pi. Cho hình thang quay quanh CD, ta được khối tròn xoay có thể tích bằng ?
        Khi quay hình thang quanh CD ta được khối tròn xoay gồm 2 phần, V_{1} khối trụ có bán kính đáy AD = \pi và chiều cao AB = \pi nên V_{1} = \pi.\pi^{2}.\pi = \pi^{4} và khối trụ V_{2} là khối nón có đáy BE = \pi và đường cao EC = \pi nên V_{2} = \frac{1}{3}\pi.\pi^{2}.\pi = \frac{1}{3}\pi^{4}
        Vậy V = V _{1} + V_{2} = \frac{4}{3}\pi^{4}

        3. Bài tập về sự tạo thành mặt trụ, hình trụ

        1. Cho mặt phẳng (P) và một điểm cố định trên mặt phẳng (P). Gọi d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và cách I một khoảng k không đổi. Tập hợp các đường thẳng d là :
        2. Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết AC = 2a\sqrt{2}, \widehat{ACB} = 45^{\circ}. Diện tích toàn phần của hình trụ (T) là:
        3. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Gọi V_{1}, V_{2} lần lượt là thể tích các khối trụ sinh ra khi quay hình chữ nhật quanh trục AB, BC. Khi đó tỉ số \frac{V_{1}}{V_{2}} bằng:
        4. Hình chữ nhật ABCD có AB = 6, AD = 4. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm bốn cạnh AB,BC, CD, DA. Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật tròn xoay có thể tích bằng:
        5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = nAD. Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh CD ta được khối trụ có diên tích toàn phần là S_{1}, khi quay hình chữ nhật một vòng quanh cạnh AD ta được khối trụ có diên tích toàn phần là S_{2}. Khẳng định nào sau đây là đúng?
        6. Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 1; BC = 3. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ABCD, song song AD và cách AD một khoảng 2, đồ thị không có điểm chung với hình chữ nhật ABCD. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay hình chữ nhật ABCD quanh d.
        7. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, AD = 2. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục AB ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó.
        8. Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4, BC = 2. Gọi P, Q lần lượt là các điểm trên cạnh AB, CD sao cho BP = 1, QD = 3QC. Quay hình chữ nhật APQD xung quanh trục PQ ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
        9. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Khi quay hình vuông ABCD quanh MN thành một hình trụ. Gọi (S) là mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình trụ, ta có bán kính của mặt cầu (S) là:
        10. Một miếng bìa hình chữ nhật có các kính thước 2a và 4a. Uốn cong tấm bìa theo bề rộng
        (hình vẽ) để được hình trụ không đáy. Ký hiệu V là thể tích của khối trụ tạo ra. Khẳng định nào sau đây đúng?

        4. Bài tập tự luyện về sự tạo thành mặt trụ, hình trụ

        1. Trong không gian cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của DC và AB. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục HK ta được một hình trụ tròn xoay (H). Gọi S_{xq}, V lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay (H) và khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ (H). Tỉ số \frac{V}{S_{xq}} bằng:
        Hình bài 2
        Hình bài 2
        2. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 80(cm) x 360(cm), người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 80cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa trên):
        * Cách 1 : Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
        * Cách 2 : Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
        Kí hiệu V_{1} là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V_{2} là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số \frac{V_{1}}{V_{2}}
        3. Hai bạn An và Bình có hai miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b. Bạn An cuộn tầm bìa theo chiều dài cho hai mép sát nhau rồi dùng băng dính dán lại được một hình trụ không có đáy có thể tích V_{1} (khi đó chiều rộng của tấm bìa là chiều cao của hình trụ). Bạn Bình cuộn tấm bìa theo chiều rộng theo cách tương tự trên được hình trụ có thể tích V_{2}. Tính tỉ số \frac{V_{1}}{V_{2}}.

        Cảm ơn các bạn đã xem hết bài học hôm nay, HocThatGioi hi vong bài học hôm nay sẽ giúp các bạn tự tin hơn khi gặp những dạng bài này. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi nhá. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt để tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!

        Bài viết khác liên quan đến Lớp 12 – Toán – Khái niệm mặt tròn xoay
        Back to top button
        Close