Dạng toán tương giao giữa hình nón và mặt phẳng – hướng dẫn giải và bài tập

Xin chào các bạn, bài học hôm nay HocThatGioi sẽ tiếp tục đem đến cho các bạn một dạng toán về hình nón mà thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPTQG đó là tương giao giữa hình nón và mặt phẳng. Dạng toán này thật sự không dễ dàng với một số bạn. Nhưng hôm nay HocThatGioi sẽ giúp các bạn giải quyết dạng toán điển hình của hình nón này. Hãy theo dõi hết bài viết hôm nay nhé !

1. Phương pháp giả tương giao giữa hình nón và mặt phẳng

Phương giải dạng toán này sẽ tuỳ thuộc vào từng trường hợp mà chúng ta gặp. Sau đây là những trường hợp mà chúng ta thường gặp.

1.1 Trường hợp mặt phẳng đi qua trục của hình nón và cắt mặt nón theo 2 đường sinh

Thiết diện qua trục của hình nón : mặt phẳng (P) đi qua trục của hình nón và cắt mặt nón theo 2 đường sinh

Vậy thiết diện là tam giác cân.

Cách vẽ hình: dưới hình vẽ, thiết diện là tam giác SAB

Thiết diện qua trục của hình nón thông thường gặp ở một số dạng như sau :

• Thiết diện qua trục là một tam giác vuông

• Thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân

• Thiết diện qua trục là một tam giác đều

• Thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng số độ cho trước (]60^{\circ} hay 120^{\circ}.)

• ……

Ví dụ minh hoạ:

Thiết diện qua trục một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2\sqrt{3}. Thể tích của khối nón này là :

Gọi thiết diện qua trục là \Delta SAB, tâm đường tròn đáy là O
Xét \Delta SAB vuông cân tại S:
SO = AO = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2}.2\sqrt{3} = \sqrt{3} => V = \frac{1}{3}\pi hr^{2} = \frac{1}{3}.SO.\pi.(OA)^{2} = \pi\sqrt{3}

1.2 Trường hợp mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt mặt nón theo 2 đường sinh

Thiết diện qua đỉnh của hình nón: mặt phẳng P đi qua đỉnh của hình nón và cắt mặt nón theo 2 đường sinh.

Vậy thiết diện cũng là tam giác cân.

Cách vẽ hình: dưới hình vẽ, thiết diện là tam giác SAB

Thiết diện qua đỉnh của hình nón thông thường hay gặp ở một số dạng như sau :

• Thiết diện qua đỉnh là một tam giác vuông
• Thiết diện qua đỉnh là một tam giác vuông cân
• Thiết diện qua đỉnh là một tam giác đều
• Thiết diện qua đỉnh có góc tạo bởi thiết diện và trục là số cho trước (]60^{\circ} hay 120^{\circ}.)
• Thiết diện qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy tới mặt phẳng chứa thiết diện là a (cm)

Ví dụ minh hoạ:

Cho hình nón có thiết diện qua đỉnh S tạo với góc đáy 60^{\circ} là tam giác đều cạnh bằng 4cm. Thể tích của khôi nón là:

Gọi thiết diện qua đỉnh là \Delta SAB, tâm đường tròn đáy O.
Góc giữa (SAB) và đáy:
(O) \frown (SAB) = AB; (O) : OH \bot AB = H (HA = HB); SH \bot AB = H
Suy ra \widehat{(SAB); (O)} = \widehat {OH; SH} = \widehat{SHO} = 60^{\circ}.
Gỉa thiết cho \Delta SAB đều cạnh 4cm => SH = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}
\Delta SOH: sin60^{\circ} = \frac{SO}{SH} => SO = sin60^{\circ}.SH = \sqrt{3}; OH = \frac{SO}{tan60^{\circ}} = \frac{3}{\sqrt{3}}
\Delta OAH: OA = \sqrt{OH^{2} + AH^{2}} = \sqrt{7}
Vậy V = \frac{1}{3}h\pi r^{2} = 7\pi (cm^{3})

Với ví dụ này, các bạn thường gặp khó khăn ở việc xác định góc giữa hai mặt phẳng, nên HocThatGioi sẽ nhắc lại phần này nhé.

Các bước xác định góc giữa hai mặt phẳng:

• Bước 1: Tìm giao tuyến chung của 2 mặt phẳng

• Bước 2: Lần lượt trên hai mặt phẳng xác định 2 đường thẳng cùng vuông với giao tuyến chung tại một điểm

• Bước 3: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng vừa tìm

1.3 Trường hợp mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón và song song với đường tròn đáy

Thiết diện vuông góc với trục của hình nón và song song với đường tròn đáy hình nón: mặt phẳng (P) vuông góc với trục nón.

Vậy giao tuyến là một đường tròn

Cách vẽ: dưới hình vẽ, thiết diện là đường tròn tâm O'.

Ví dụ minh hoạ:

Khối nón có chiều cao bằng . Thiết diện song song và cách mặt đáy một đoạn bằng a, có diện tích bằng \frac{64}{9}\pi a^{2}. Khi đó, thể tích khối nón là

Thiết diện song song và cách mặt đáy một đoạn bằng a là đường tròn tâm O’ như hình vẽ
Ta có:
S_{O’} = \pi r^{2} = \frac{64}{9}\pi a^{2} => r = \frac{8}{3}a = AO’
Áp dụng Talet trong \Delta SOB, ta có:
\frac{SO’}{SO} = \frac{AO’}{BO} => BO = \frac{SO.AO’}{SO’} = 4a = R
Vậy V = \frac{1}{3}.3a\pi (4a)^{2} = 16\pi a^{3}

1.4 Trường hợp mặt phẳng cắt mọi đường sinh của hình nón

Thiết diện cắt mọi đường sinh của hình nón: mặt phẳng (P) cắt mọi đường sinh hình nón.

Vậy giao tuyến là 1 đường elip.

Cách vẽ hình :

1.5 Trường hợp mặt phẳng song song với 1 đường sinh của hình nón

Thiết diện song song với 1 đường sinh của hình nón: mặt phẳng (P) song song với 1 đường sinh hình nón.

Vậy giao tuyến là 1 đường parabol.

Cách vẽ hình:

2. Bài tập tương giao giữa hình nón và mặt phẳng

6. Cho hình nón có độ dài đường cao là a\sqrt{3}, bán kính đường tròn đáy là a. Tính diện tích toàn phần của hình nón.

• a. 5\pi a^{2}
• b. 4\pi a^{2}
• c. 3\pi a^{2}
• d. 2\pi a^{2}

Xem bài giải

Xét trong \Delta SAO: SA = \sqrt{SO^{2} + AO^{2}} = 2a
Vậy S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} = \pi rl + \pi r^{2} = \pi.a.2a + \pi.a^{2} = 3\pi a^{2}

7. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh huyền . Thể tích của khối nón bằng ?

• a. \pi a^{2}
• b. \frac{2\pi a^{3}}{3}
• c. \frac{\pi a^{3}}{3}
• d. 2\pi a^{3}

Xem bài giải

Gọi thiết diện qua trục là \Delta SAB, tâm đường tòn đáy là O.
Xét \Delta SAB vuông cân tại S:
Suy ra SO = AO = \frac{1}{2}AB = a
Vậy V = \frac{1}{3}h\pi r^{2} = \frac{1}{3}.SO.\pi.SA^{2} = \frac{\pi a^{3}}{3}

8. Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng [a/katex], biết B, C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là:

• a. a^{3}\pi\sqrt{3}
• b. \frac{2\sqrt{3}\pi a^{3}}{9}
• c. \frac{\sqrt{3}\pi a^{3}}{24}
• d. \frac{3\pi a^{2}}{8}

Xem bài giải

\Delta ABC đều cạnh a => SO = \frac{a\sqrt{3}}{2}; BO = \frac{a}{2}
Vậy V = \frac{1}{3}h\pi r^{2} = \frac{1}{3}SO.\pi.BO^{2} = \frac{\sqrt{3}\pi a^{3}}{24}

9. Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = a và bán kính r = \frac{5a}{4}. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy bằng \frac{3a}{5}. Diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình nón là:

• a. \frac{5}{4} a^{2}
• b. \frac{5}{3} a^{2}
• c. \frac{\sqrt{5}}{4} a^{2}
• d. \frac{1}{4} a^{2}

Xem bài giải

Gọi mặt phẳng qua đỉnh là \Delta SAB
Khoảng cách từ O đến (SAB) là :
Từ O kẻ OH \bot AB (HA = HB), nối SH, từ O kẻ OK \bot SH => OK \bot (SAB) => d(O; (SAB)) = OK = \frac{3a}{5}
Xét trong \Delta SOH ta có:
\frac{1}{OK^{2}} = \frac{1}{OS^{2}} = \frac{1}{OH^{2}} => OH = \frac{OK.OS}{\sqrt{OS^{2} - OK^{2}}} = \frac{3}{4}a
SH = \sqrt{SO^{2} + OH^{2}} = \frac{5}{4} a
Xét trong \Delta OAH ta có:
AH = \sqrt{OA^{2} - OH^{2}} = a => AB = 2a
Vậy S_{\Delta SAB} = \frac{1}{2}SH.AB = \frac{5}{4} a^{2}

10. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a, diện tích xung quanh là S_{1} và mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có diện tích S_{2}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

• a. 2S_{1} = 3S_{2}
• b. S_{1} = 4S_{2}
• c. S_{2} = S_{2}
• d. S_{1} = S_{2}

Xem bài giải

Bán kính đáy của hình nón là a. Đường sinh của hình nón là 2a.
Do đó, ta có S_{1} = \pi rl = 2\pi a^{2}
Chiều cao của hình nón SO = \frac{2a\sqrt{3}}{2}
Mặt cầu có bán kính là r = \frac{1}{2}SO = \frac{a\sqrt{3}}{2} => S_{2} = 4\pi r^{2} = 3\pi a^{2}
Suy ra 2S_{2} = 3S_{1}

3. Bài tập tự luyện về sự tương giao giữa hình nón và mặt phẳng

Với bài tập tự luyện, HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn những câu nằm ở mức vận dụng - vận dụng cao, nhưng sẽ có hướng dẫn phương pháp làm cho các bạn nhé.

1. Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng \sqrt{3} và thiết diện qua trục là tam giác đều là ?

• a. 8\pi
• b. 9\pi
• c. 10\pi
• d. 12\pi

Xem bài giải

Hướng dẫn:
Xác định được khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh.
Dựa vào giả thiết, thiết diện qua trục là tam giác đều để tính r, l.
Tính S_{tp}

2. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60^{\circ}. Diện tích của thiết diện qua đỉnh bằng

• a. \frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}
• b. \frac{a^{2}\sqrt{2}}{3}
• c. 2a
• d. \frac{a^{2}\sqrt{2}}{4}

Xem bài giải

Hướng dẫn:
Xác định góc giữa thiết diện và mặt đáy .
Dựa vào giả thiết qua trục là tam giác vuông cân, có cạnh góc vuông bằng a tìm được bán kính và tìm đường cao của thiết diện qua đỉnh
Tính S thiết diện qua đỉnh

3. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3cm và có đường sinh l = 5cm. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh và tạo với trục một góc 30^{\circ}. Diện tích thiết diện là:

• a. \frac{8\sqrt{11}}{3}
• b. \frac{sqrt{11}}{3}
• c. \frac{2\sqrt{11}}{3}
• d. \frac{11\sqrt{11}}{3}

Xem bài giải

Hướng dẫn:
Thiết diện của mặt phẳng (P) đi qua đỉnh là một tam giác cân.
Xác định góc giữa (P) và trục.
Tìm chiều cao và cạnh đáy của thiết diện để tính S

Trên đây là bài viết về Dạng toán tương giao giữa hình nón và mặt phẳng - hướng dẫn giải và bài tập thành mặt nón, hình nón mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Mặt tròn xoay để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.

Bài viết khác liên quan đến Lớp 12 - Toán - Khái niệm mặt tròn xoay

• Lý thuyết mặt nón và mặt trụ hay đầy đủ nhất
• Lý thuyết Hình nón cụt và bài tập chi tiết dễ hiểu nhất
• 20 câu trắc nghiệm bài tập Hình nón dễ hiểu có lời giải chi tiết
• Tổng hợp các câu trắc nghiệm Hình nón vận dụng – vận dụng cao có lời giải
• 20 câu trắc nghiệm bài tập Hình trụ dễ hiểu có lời giải chi tiết nhất
• Tương giao giữa hình trụ và mặt phẳng, đường phẳng
• Dạng toán sự tạo thành mặt trụ, hình trụ – hướng dẫn giải và bài tập
• Dạng toán sự tạo thành mặt nón, hình nón – hướng dẫn giải và bài tập
• Lý thuyết mặt tròn xoay – mặt nón và mặt trụ chi tiết nhất
• Dạng toán mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp lăng trụ – hướng dẫn giải và bài tập
• Tổng hợp bài tập hình nón ngoại tiếp nội tiếp có lời giải chi tiết nhất
• Tổng hợp các câu bài tập mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp có lời giải chi tiết nhất
• Phương pháp giải hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp chi tiết nhất
• Phương pháp giải hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình trụ chi tiết nhất