Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz – bài tập áp dụng

Ngọc Quốc Tháng Mười 29, 2021

Trong bài này, HocThatGioi sẽ hướng dẫn chi tiết cho các bạn cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz. Đọc xong bài này, HocThatGioi chắc chắn dạng bài này đối với các bạn sẽ cực kì dễ dàng đấy! Cùng theo dõi ngay nhé!

1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz

Đối với 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng song song với nhau hay 1 đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì góc giữa chúng là 0.

Đối với 1 đường thẳng $d$ và 1 mặt phẳng $(P)$ cắt nhau tại điểm G: Ta sẽ lấy một điểm M bất kì trên đường thẳng đó, từ m hạ vuông góc xuống mặt phẳng $(P)$ . Khi đó góc $\widehat{MGM'}$ chính là góc giữa $d$ và $(P)$ (Xem hình bên dưới).

Một số lưu ý khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc không tù ( $0 \leq \alpha \leq 90^o$ .
Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng là $90^o$ .

2. Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz

Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz, ta sẽ dựa vào VTPT của mặt phẳng và VTCP của đường thẳng đó. Khi đó sin của góc $\alpha$ giữa đường thẳng và mặt phẳng sẽ được tính theo công thức sau:

Công thức tình góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Oxyz

sin \alpha =\frac{|\vec u_d . \vec n_P|}{|\vec u_d|.|\vec n_P|}=\frac{|Aa+Bb+Cc|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Trong đó:

\vec u_d=(a,b,c)

là VTCP của d.

\vec n_P=(A,B,C)

là VTPT của (P).
Phương trình đường thẳng d có dạng:

\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}

.
Phương trình

(P)

có dạng:

Ax+By+Cz+D=0

Khi mà ta đã xác định được $sin \alpha$ thì việc tìm $\alpha$ không có gì khó nữa. Xem ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn nhé!

Tính góc tạo bởi đường thẳng d có phương trình

\frac{x-3}{2}=\frac{y}{3}=-z

và mặt phẳng

(P)

có phương trình

2x-y+2z-5=0

Đường thẳng d có VTCP

\vec u_d=(2,3,-1)

.
Mặt phẳng

(P)

có VTPT

\vec n_d=(2,-1,2)

Góc

\alpha

giữa đường thẳng d và

(P)

là:

sin \alpha =\frac{|\vec u_d . \vec n_P|}{|\vec u_d|.|\vec n_P|}=\frac{|Aa+Bb+Cc|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|2.2+3.(-1)+(-1).2|}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2} \sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{\sqrt {14}}{42}

3. Bài tập góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz

Làm ngay những bài tập dưới đây để ghi nhớ lâu hơn các công thức vừa học ở trên nhé!

Bài 1. Tính góc tạo bởi đường thẳng d có phương trình $\frac{x-2}{-1}=\frac{-y}{2}=z$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x-2y+z-2=0$ .

Bài 2. Tính góc tạo bởi đường thẳng d có phương trình $\frac{x-1}{2}=\frac{2-y}{3}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x-2y+3z-1=0$ .

Bài 3. Tính góc tạo bởi đường thẳng d có phương trình $\frac{-x+2}{-4}=\frac{y-4}{2}=\frac{1+z}{3}$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $3x-4y+z+1=0$ .

Bài 4. Tính góc tạo bởi đường thẳng d có phương trình $\frac{-x-5}{-5}=\frac{y}{-2}=z-1$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2y+z-2=0$ .

Bài 5. Tính góc tạo bởi đường thẳng d có phương trình $\frac{x-2}{-3}=\frac{-y}{-1}=z-2$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x-3z-5=0$ .

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz – bài tập áp dụng. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!