Cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz-bài tập áp dụng

Ngọc Quốc Tháng Mười 23, 2021

Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ giới thiệu đến các bạn các cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz. Bài viết này sẽ giúp các bạn vượt qua các câu hỏi dạng này trong bài thi một cách dễ dàng và còn là cơ sở cho các dạng bài khác nữa. Cùng theo dõi ngay nhé!

1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian là gì?

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A$ và đường thẳng $\Delta$ bất kì. Khoảng cách từ điểm $A$ tới đường thằng $\Delta$ chính là đoạn thẳng nối điểm $A$ và hình chiếu $B$ của nó trên đường thẳng $\Delta$

Cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz-bài tập áp dụng 3 — Khoảng cách giữa điểm đến đường

Kí hiệu: $d(A, \Delta)=AB$ .

Vậy thì làm sao để tính được khoảng cách này? Tiếp tục theo dõi ngay bên dưới nhé!

2. Cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz

Chúng ta có 2 cách để tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian:

2.1 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng bằng cách tìm hình chiếu

Trước tiên, ta sẽ tìm hình chiếu của điểm đó lên đường thẳng, sau đó tính độ đoạn thẳng của điểm đó và hình chiếu của nó. Xem ví dụ dưới đây để hiểu chi tiết hơn nhé!

Ví dụ:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình

\left\{\begin{matrix} x=1-2t \\ y=1+t \\ z=3t \end{matrix}\right.

. Tính khoảng cách từ điểm

M(1;5;4)

đến đường thẳng Δ.

Cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz-bài tập áp dụng 4

Đây là phương pháp khá trực quan và dễ hình dung. Tuy nhiên khá dài dòng và tính toán khá nhiều, HocThatGioi khuyên các bạn nên dùng cách thứ hai dưới đây hơn! Cùng theo dõi nhé!

2.2 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng bằng công thức tích có hướng

Giải sử cần tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ, đầu tiên ta tìm điểm A’ bất kì thuộc đường thẳng Δ, sau đó tìm $\vec {AA'}$ và áp dụng công thức dưới đây:

Tính khoảng cách từ 1 điểm A đến đường thẳng

\Delta

bằng công thức tích có hướng:

d(a,\Delta )=\frac{|\underset{AA’}{\rightarrow}\wedge \underset{u}{\rightarrow}|}{|\underset{u}{\rightarrow}|}

Trong đó:
A’: Điểm bất kì trên đường thẳng Δ

\vec u

: Vec tơ chỉ phương của đường thẳng Δ

Xét lại ví dụ ở trên:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình

\left\{\begin{matrix} x=1-2t \\ y=1+t \\ z=3t \end{matrix}\right.

. Tính khoảng cách từ điểm

M(1;5;4)

đến đường thẳng Δ.

Ta có:

N(1;1;0)

là 1 điểm nằm trên đường thẳng

\Delta

. Suy ra

\vec{MN}=(0;-4;-4)

\vec u=(-2;1;3)

là 1 véc tơ chỉ phương của đường thẳng

\Delta

.
Vậy

d(M, \Delta )=\frac{| \vec{MN} \wedge \vec u |}{| \vec u|}=\frac{4 \sqrt{42}}{7}

3. Bài tập tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian

Thử sức ngay với những bài tập dưới đây để ôn luyện lại kiến thức vừa học ở trên nhé

1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình

\left\{\begin{matrix} x=t \\ y=1+2t \\ z=-1-2t \end{matrix}\right.

. Tính khoảng cách từ điểm

M(1;5;4)

đến đường thẳng Δ.

a. $\frac{4 \sqrt 3 }{5}$
b. $\frac{4 \sqrt 5 }{3}$
c. $\frac{5 \sqrt 3 }{4}$
d. $\frac{3 \sqrt 5 }{4}$

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình

\left\{\begin{matrix} x=t \\ y=1+2t \\ z=-1+t \end{matrix}\right.

. Tính khoảng cách từ điểm

A(1;1;1)

đến đường thẳng Δ.

a. $\frac{ \sqrt {14}}{2}$
b. $\sqrt {14}$
c. $\frac{ \sqrt {14}}{4}$
d. $3 \sqrt 3$

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình

\left\{\begin{matrix} x=t \\ y=1+2t \\ z=-1+t \end{matrix}\right.

. Cho 2 điểm

A(1;1;1), B(0;1;-1)

và H là hình chiếu vuông góc của A lên Δ. Tính diện tích tam giác AHB

a. $\frac{\sqrt {21}}{4}$
b. $\frac{\sqrt {21}}{3}$
c. $\frac{\sqrt {21}}{2}$
d. $\sqrt {21}$

Trong không gian Oxyz, cho điểm

A(1;0;2)

và đường thẳng Δ có phương trình

\left\{\begin{matrix} x=t \\ y=m+2t \\ z=-1+2t \end{matrix}\right.

. Có bao nhiêu giá trị m để khoảng cách từ A đến Δ là

\sqrt 2

a. 0
b. 3
c. 2
d. 1

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!