Trong bài học hôm nay, HocThatGioi sẽ giới thiệu cho có bạn dạng toán mặt cầu ngoại nội tiếp – hướng dẫn và bài tập. Với bài học hôm nay sẽ giúp các bạn tự tin hơn khi gặp những bài toán liên quan đến mặt cầu ngoại – nội tiếp. Cùng HocThatGioi bắt đầu buổi học hôm nay nhé.
1.Phương pháp giải mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp lăng trụ
Sau đây là phương pháp giải đối với từng trường hợp là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ hay nội tiếp lăng trụ.
1.1 Phương pháp giải mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ:
Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp một đường tròn.
Phương pháp tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ:
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Gọi O_{1}, O_{2} lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ => O_{1}O_{2} là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.
Gọi I là trung điểm của O_{1}O_{2}
=> IA = IB = IC = IA' = IB' = IC'. Suy ra:
Trung điểm I của O_{1}O_{2} là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp trong mặt cầu bán kính R = 3cm. Tam giác ABC cân và có diện tích bằng 2 cm^{2}. Diện tích toàn phần của hình hộp đó bằng:
Ta có ABCD là hình chữ nhật => \Delta ABC vuông tại B => nó cũng cân tại B
Ta có : S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.BC = 2 => AB = 2 = BC \Delta ABC: AC = 2\sqrt{2} => IC = \frac{AC}{2} = \sqrt{2} \Delta IOC: IO = \sqrt{OC^{2} – IC^{2}} = \sqrt{7}
Suy ra chiều cao của khối hộp là 2\sqrt{7}
Diện tích toàn phần của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là: S_{tp} = S_{2đáy} + S_{xq} = 2.2^{2} + 4(2.2\sqrt{7}) = 8(1 + 2\sqrt{7}).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB= b, AD = c. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp đi qua 8 đỉnh của hình hộp.
Gọi O_{1}O_{2} lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy.
Suy ra:
-Trung điểm I của O_{1}O_{2} là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp
Bán kính : R = IA = \sqrt{AO_{1}^{2} + IO_{1}^{2}} = \sqrt{(\frac{AC}{2})^{2} + (\frac{AA’}{2})^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.
1.2 Phương pháp giải mặt cầu nội tiếp lăng trụ
Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp lăng trụ
Khối cầu nội tiếp lập phương cạnh a: bán kính R = \frac{a}{2} .
Đường cao của hình lăng trụ bằng đường kính của hình cầu nội tiếp
Ví dụ minh hoạ:
Gọi V là thể tích khối lập phương, V’ là thể tích khối cầu nội tiếp khối lập phương. Khi đó tỉ số \frac{V}{V’} là ?
Gọi cạnh của hình lập phương là a, vì khối cầu nội tiếp khối lập phương nên đường kính khối cầu bằng cạnh của hình lập phương. Suy ra bán kính khối cầu là R = \frac{a}{2}. V = a^{3} V’ = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{\pi a^{3}}{6}
Vậy \frac{V}{V’} = \frac{6}{\pi}
2. Bài tập mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp lăng trụ
1. Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì hình lăng trụ đó phải là:
Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp một đường tròn.
2. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Đúng ! Vì hình hộp chữ nhật là lăng trụ đừng và có đáy là một đa giác nội tiếp đường tròn
3. Trong các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R thì:
Hình hộp nội tiếp mặt cầu là hình hộp chữ nhật và giả sử ba kích thước của nó là a, b, c thì dộ dài đường chéo là : d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} => 4R^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}} => a^{2}b^{2}c^{2} \leq (\frac{4R^{2}}{3})^{3} => abc \leq \frac{8R^{3}\sqrt{3}}{9}
Thể tích khối hộp là V = a.b.c \leq \frac{8R^{3}\sqrt{3}}{9} => V_{max} = \frac{8R^{3}\sqrt{3}}{9} => a = b = c
Vậy hình lập phương có thể tích lớn nhất
4. Cho bán kính hình cầu nội tiếp hình lập phương bằng a\sqrt{2} như hình vẽ. Tính thể tích hình lập phương :
Gọi b là cạnh lập phương
Mà ta có R = \frac{b}{2} => b = 2R = 2a\sqrt{2} => V_{lập phương} = b^{3} = 16\sqrt{2}a^{3}
5. Cho hình cầu có bán kính r = 2cm nội tiếp lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 3cm. Tính thể tích lăng trụ.
Ta có cạnh bên của lăng trụ bằng đường kính của hình cầu nội tiếp => AA’ = 2.2 = 4 cm
Vậy V_{ABC.A’B’C’} = AA’.S_{ABC} = 9\sqrt{3} cm^{3}
6. Một khối cầu nội tiếp trong hình lập phương có đường chéo bằng 4\sqrt{3}. Thể tích của khối cầu là:
Đặt tên đỉnh như hình vẽ. Gọi a là đồ dại cạnh hình lập phương => CB = a\sqrt{2}
Ta có: AB^{2} = AC^{2} + CB^{2} => (4\sqrt{3})^{2} = a^{2} + (a\sqrt{2})^{2} => a = 4 => r = 2
Thể tích khối cầu là : V = \frac{4}{3}\pi.2^{3} = \frac{32\pi}{3}
7. Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có BB’ = 2\sqrt{3} cm, C’B’ = 3cm, diện tích mặt đáy bằng 6cm^{2}. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp trên bằng:
Ta có: S_{ABC} = \frac{S_{ABCD}}{2} => \frac{1}{2}AB.BC = 3 => AB = 2 (cm)
Hình hộp chữ nhật có độ dài 3 cạnh là 2 cm, 3 cm, 2\sqrt{3} cm
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là : R =\frac{\sqrt{(2\sqrt{3}})^{2} + 3^{2} + 2^{2}}{2} = \frac{5}{2} cm
Vậy thể tích khối cầu V = \frac{4}{3}\pi(\frac{5}{2})^{2} = \frac{123\pi}{6} cm^{3}
8. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a. Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.
Gọi O_{1}, O_{2} lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy. Suy ra:
Trung điểm I của O_{1}O_{2} là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Ta có \Delta ABC đều => AO_{1} = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}
Bán kính: R = IA = \sqrt{AO_{1}^{2} + IO_{1}^{2}} = \sqrt{AO_{1}^{2} + (\frac{IO_{1}O_{2}}{2})^{2}} = \frac{a\sqrt{21}}{6}
Thể tích lăng trụ : V = AA’.S_{ABC} = a.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ: S = 4\pi R^{2} = \frac{7\pi a^{2}}{3}
9. Cho khối cầu nội tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, có chu vi đường tròn lớn là 4\pi cm. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương.
Gọi bán kính hình cầu nội tiếp hình lập phương là r, bán kính hình cầu ngoại tiếp hình lập phương là R.
Ta có chu vi đường tròn lớn của hình cầu nội tiếp là 2\pi r = 4\pi => r = 2 cm
Suy ra cạnh của hình lập phương là 4 cm
Bán kính hình cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh 4 cm là R = \frac{d}{2} = 2\sqrt{3}
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lập phương là: S = 4\pi(2\sqrt{3})^{2} = 48\pi cm^{2}
10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có diện tích các mặt ABCD, ABB’A’, ADDA’ lần lượt bằng 20 cm^{2}, 28 cm^{2}, 35 cm^{2}. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp bằng:
Gỉa sử AB = a, AD = b, AA’ = c
Ta có: \left\{\begin{matrix}
ab = 20\\
ac = 28\\
bc = 35\\
\end{matrix}\right. => a = 4, c = 7, b = 5
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là : R = \frac{\sqrt{4^{2} + 5^{2} + 7^{2}}}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{2} cm
3. Bài tập tự luyện mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp lăng trụ
Với phần bài tập tự luyện HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn những câu hơi ở mức vận dụng – vận dụng cao nhưng sẽ có hướng dẫn chi tiết nhé.
1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a, AB = 2\sqrt{3}, AC’ = a\sqrt{5}. Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’.
Hướng dẫn:
Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ theo phương pháp đã ở trên.
2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Góc giữa đường chéo AB’ của mặt bên B’A’AB với mặt đáy bằng 60^{\circ}. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.
Hương dẫn:
Xác định tâm như những bài trước.
Xac đinh góc \widehat{AB’, (B’A’AB)}.
Dựa vào góc tính được bán kính.
3. Cho hình lập phương cạnh a. Gọi R_{1}, R_{2}, R_{3} lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn:
Dựa vào hình vẽ rồi tính R_{1}, R_{2}, R_{3}
Trên đây là bài viếtvề Dạng toán mặt cầu ngoại nội tiếp lăng trụ – hướng dẫn và bài tập mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Mặt tròn xoay để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.
Bài viết khác liên quan đến Lớp 12 – Toán – Khái niệm mặt tròn xoay
