Xin chào các bạn, sau khi đã hoàn thành các dạng toán mặt cầu ngoại tiếp hình trụ và hình chóp, hôm nay HocThatGioi sẽ giúp các bạn tổng hợp lại các kiến thức bởi những câu bài tập đi từ vận dụng thấp tới vận dụng cao. Còn chần chờ gì nữa mà không bắt đầu buổi học hôm nay nhé!
1. Trong các lăng trụ sau, lăng trụ nào không nội tiếp được trong một mặt cầu?
Các tứ giác có thể nội tiếp đường tròn là: hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.
2. Trong các hình hộp nội tiếp mặt cầu hãy xác định hình hộp có diện tích toàn phần lớn nhất ?
Hình hộp lập phương là hình hộp nội tiếp mặt cầu hãy xác định hình hộp có diện tích toàn phần lớn nhất
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhât, SA \bot (ABCD). Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là :
Ta có BC \bot AB, BC \bot SA
Suy ra BC \bot (SAB) => BC \bot SB
Chứng minh tương tự ta được CD \bot SD SA \bot (ABCD) => SA \bot AC.
Suy ra: Ba điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông.
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD là trung điểm SC
5. Tỉ số thể tích của khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng :
Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a.
Thể tích khối lập phương V = a^{3}.
Đặt AB = a => AC = a\sqrt{2} => AC’ = a\sqrt{3}.
Gọi O là tâm của hình lập phương, khi đó O cách đều 8 đỉnh của hình lập phương nên O cũng là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương R = \frac{A’C}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}. =>V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{\pi a^{3}\sqrt{3}}{2}
Khi đó \frac{V_{LP}}{V_C} = \frac{2\sqrt{3}}{3\pi}
4. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh A. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:
Gọi H là tâm tam giác đều BCD. E là trung điểm CD. Ta có AH \bot (BCD)
Gọi I, r là tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với các mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD thì I là giao của AH là phân giác góc AEB của \Delta AEB.
Ta có : AE = BE = \frac{a\sqrt{3}}{2}, HE = \frac{BE}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6} AH = \sqrt{AE^{2} – HE^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}
Áp dụng tính chất đường phân giác: \frac{IH}{IA} = \frac{EH}{EA} => \frac{IH}{IH + IA} = \frac{EH}{EH + EA} => r = IH = \frac{a\sqrt{6}}{12}
6. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có bán kính r bằng:
Gọi I là tâm hình hộp chữ nhật
Ta có : IA = IB = IC = ID = IA’ = IB’ = IC’ = ID’ nên I cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.
Đường kính của mặt cầu (S) chính là đường chéo của hình hộp chữ nhật, nên mặt cầu (S) có bán kính R = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}
7. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.
Thể tích lăng trụ là V = AA’.S_{ABC} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}
Gọi O, O’ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC, \Delta A’B’C’.
Khi đó tâm của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là trung điểm I của OO’.
Mặt cầu này có bán kính là: R = IA = \sqrt{AO^{2} + OI^{2}} = \frac{a\sqrt{21}}{6} S = 4\pi R^{2} = \frac{7\pi a^{2}}{3}
8. Cho hình lăng trụ tam giác đều có chín cạnh đều bằng a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó là:
Ta có R = \sqrt{(\frac{a}{2})^{2} + (\frac{a}{\sqrt{3}})^{2}} = \frac{a\sqrt{21}}{6}
Vậy V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{7\pi a^{3}\sqrt{21}}{54}
9. Thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, có cạnh AB = \frac{a\sqrt{3}}{2} và các cạnh còn lại đều bằng a.
Gọi I là trung điểm cạnh CD
Theo đề bài, ta có : AI \bot CD, BI \bot CD, AI = BI = \frac{a\sqrt{3}}{2} = AB (1)
Suy ra (ABI) là mặt phẳng trung trực canh CD
Gọi M là giao điểm của BI với mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Suy ra đường trong lớn của (S) là đường tròn ABM.
Mặt phẳng (BCD) cắtt (S) theo đường tròn (BCD) qua M, mà BM là đường kính. => BM = \frac{a}{sin60^{\circ}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}
Từ (1) => \Delta ABI đều. Suy ra \widehat{ABM} = 60^{\circ}. AM = \sqrt{AB^{2} + BM^{2} -2AB.BM.cos60^{\circ}} = a\sqrt{\frac{13}{12}} => R = \frac{AM}{2.sin60^{\circ}} = \frac{a\sqrt{13}}{6}. => V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{13\sqrt{13}}{162} \pi a^{3}
10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt đáy. Đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:
Ta có : BC \bot AB, BC \bot SA (do SA \bot (ABC)) => BC \bot (SAB) => BC \bot SB SA \bot (ABC) => SA \bot AC
Suy ra hai điểm A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông. Vậy đường kính mặt cầu là SC.
11. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2\sqrt{3} bằng:
Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2\sqrt{3}
Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có bán kính R = \frac{A’C}{2} mà A’C = 2\sqrt{3}.\sqrt{3} => R = 3..
Vậy V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = 36\pi.
12. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a\sqrt{3}, BD = 3a, hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (A’B’C’D’) là trung điểm của A’C’. Biết rằng côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và CDD’C’ bằng \frac{\sqrt{21}}{7}. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’C’D’.
Vì BO = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}A’C’ nên tam giác A’B’C’ vuông tại B
Vì B’D’ \bot (A’B’C’) nên B’D’ là trực đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’. Gọi G là tâm của tam giác đều A’C’D’.
Khi đó GA’ = GC’ = GD’ và GA = GB = GF’ nên G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diên A’B’C’D’. Mặt cầu này có bán kính R = GD’ = \frac{2}{3} OD’ = a.
13. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng 2a. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
Mặt cầu đã cho cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A’.ABC nên với AA’ \bot (ABC)
Ta có thể áp dụng côngg thức: R = \sqrt{R_{đ}^{2} + \frac{AA’^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{21}}{3}
14. Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Gọi Cho G, G’lần lượt là tâm của hai đáy. Ta có GG’ chính là trục của các tam giác ABC và A’B’C. Gọi O là trung điểm GG’ thì O cách đều sáu đỉnh của hình trụ nên O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. Bán kính mặt cầu là R = OA.
Gọi M là trung điểm BC, ta có: AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}. AG = \frac{2}{3}AM = \frac{a\sqrt{3}}{3}.
Xét tam giác OGA vuông tại G, ta có OA = \sqrt{AG^{2} + GO^{2}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3} = R
15. Một khối cầu nội tiếp trong hình lập phương có đường chéo bằng 4\sqrt{3} cm. Thể tích của khối cầu là:
Cho các đỉnh A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ như hình vẽ và gọi M, N là tâm các hình vuông ABB’A’ và CDD’C’.
Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương.
Ta có A’C^{2} = AA’^{2} + AC^{2} = AA’^{2} + AB^{2} + AD^{2} = 3a^{2} => a = 4 MN = BC = a = 4 => bán kính khối cầu R = 2
Vậy V = \frac{32}{3}\pi cm^{3}
16. Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tỉ số thể tích của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón là:
Giả sử đường sinh hình nón có độ dài là a.
Gọi G là trọng tâm của tam giác thiết diện, do đó G cách đều 3 đỉnh và 3 cạnh của tam giác thiết diện, nên G là tâm của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón.
Suy ra bán kính R, r của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón lần lượt là \frac{a\sqrt{3}}{3}, \frac{a\sqrt{3}}{6}. Gọi V_{1}, V_{2} lần lượt là thể tích của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón.
Vậy \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{R^{3}}{r^{3}} = 8.
17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2\sqrt{2} cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng (a) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.
Ta có, CB \bot (SAD), AM \subset (SAB) => AM \bot CB (1) (a) \bot SC, AM \subset (a) => AM \bot SC (2)
Từ (1) và (2)
Suy ra AM \bot (SBC) => AM \bot MC => \widehat{AMC} = 90^{\circ}
Chứng minh tương tự ta có \widehat{APC} = 90^{\circ}
Có AN \bot SC => \widehat{ANC} = 90^{\circ}. Ta có : \widehat{AMC} = \widehat{APC} = 90^{\circ} => mặt cầu đường kính AC là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP
Vậy bán kính cầu này là r = \frac{AC}{2} = 2
18. Cho hình chóp S.ABC với SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và BC = a\sqrt{3}, \widehat{BAC} = 60^{\circ}. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, H, K có bán kính là :
Gọi AD là đường kính của đường tròn (ABC).
Suy ra, AC \bot DC => CD \bot (SAC) hay AK \bot DK.
Tương tự, AH \bot HD. Suy ra mặt cầu qua các điểm A, B,C ,H ,K có đường kính AD = \frac{BC}{sin60^{\circ}} = 2a
Trên đây là bài viết Tổng hợp các câu bài tập mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp có lời giải chi tiết nhất mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Mặt tròn xoay để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.
Bài viết khác liên quan đến Lớp 12 – Toán – Khái niệm mặt tròn xoay
