Cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz – bài tập áp dụng

Ngọc Quốc Tháng Mười 25, 2021

Nếu bạn đang gặp khó khăn trong việc viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz thì đây là bài viết dành cho bạn. Đọc xong bài này, HocThatGioi chắc rằng việc viết phương trình mặt phẳng trong không gian đối với bạn chỉ dễ như trở bàn tay. Vậy nên cùng bắt đầu ngay bây giờ nhé!

1. Định nghĩa phương trình mặt phẳng trong không gian

Phương trình mặt phẳng tổng quát: $Ax+By+Cz+D=0(A^2+B^2+C^2>0)$ .

Để viết được một phương trình mặt phẳng như trên, ta cần phải có 2 yếu tố:

Điểm bất kì thuộc mặt phẳng
Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(x_0,y_0,z_0)$ và có vec tơ pháp tuyến $\vec n=(A;B;C)$ : $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ .

Ví dụ: Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa điểm O(0;0;0) và có vec tơ pháp tuyến là $\vec n=(1;1;1)$ thì sẽ có phương trình là: $x+y+z=0$ .

2. Cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian

Với mỗi dạng đề viết phương trình mặt phẳng thì sẽ cho mỗi dữ kiện khác nhau nhưng tất cả đều sẽ quy về tìm 1 điểm và 1 vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Thường sẽ rơi vào những dạng sau:

2.1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng

Giả sử mặt phẳng $(P)$ đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Khi đó ta sẽ tìm vec tơ pháp tuyến bằng cách lấy tích có hướng 2 vec tơ chỉ phương của $(P)$ , ta dễ dàng tìm được 2 vec tơ chỉ phương này từ 3 điểm đã cho (có thể chọn 2 trong 3 vec tơ $\vec {AB}, \vec {AC},\vec {BC}$ .

Khi đó, ta đã có thể viết phương trình mặt phẳng $(P)$ với:

Điểm A (hoặc B,C)
VTPT $\vec n_P=[\vec{AB},\vec{AC}]$ (hoặc $[\vec{AB},\vec{BC}]$ , $[\vec{AC},\vec{BC}]$ )

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng

(\alpha)

đi qua 3 điểm

M(1;1;3),N(-1;2;3),P(-1;1;2)

, biết 3 điểm này không thẳng hàng.

Ta có:

\vec {MN}=(-2;1;0), \vec {MP}=(-2;0;-1) \Rightarrow [\vec {MN}, \vec {MP}]=(-1;-2;2)

.
Vậy phương trình mặt phẳng

(\alpha)

có Vecto pháp tuyến

\vec n =(-1;-2;2)

và đi qua điểm

M(1;1;3)

\Rightarrow (\alpha): (−1)(x–1)–2(y–1)+2(z–3)=0 \Leftrightarrow −x–2y+2z–3=0

2.2 Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đường thẳng và 1 điểm

Giả sử mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng d và đi qua điểm A. Trong trường hợp này, ta sẽ lấy một điểm B bất kì thuộc $d (B \in d)$ . Khi đó ta sẽ có vec tơ pháp tuyến là $\vec n=[\vec {AB}, \vec u_d]$ (Tích có hướng của $\vec {AB}$ và VTCP của d. Khi đó ta đã có thể viết phương trình mặt phẳng $(P)$ với:

Điểm A
VTPT $\vec n=[\vec {AB}, \vec u_d]$ .

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng

(P)

đi qua điểm A(3;1;0) và đường thẳng

d: \frac{x-3}{-2}=y+1=z+1

Lấy điểm

B(3;-1;-1) \in d

Suy ra

\vec {AB}=(0;−2;−1)

và VTCP

\vec u_{(P)}=\vec u_d=(−2;1;1)

Vậy, (P) đi qua điểm

A(3;1;0)

và có VTPT

\vec n=[\vec {AB},\vec u_d]

\Rightarrow (P):−1(x–3)+2(y–1)–4z=0 ⇔−x+2y–4z+1=0

2.3 Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng không song song

Giả sử mặt phẳng (P) đi qua 2 đường thẳng $d_1$ và $d_2$ , khi đó ta lấy một điểm bất kì thuộc $d_1$ hoặc $d_2$ , còn VTPT sẽ là tích có hướng của 2 VTCP $d_1,d_2$ $\vec n=[\vec u_{d_1}, \vec u_{d_2}]$ .

Khi đó, ta có thể viết phương trình mặt phằng (P) với :

Điểm A ( $A \in d_1$ hoặc $A \in d_2$ )
VTPT: $\vec n=[\vec u_{d_1}, \vec u_{d_2}]$ .

3. Bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian

Thử sức với những bài tập dưới đây để luyện tập lại các kiến thức vừa học ở trên nhé!

Câu 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm $M(1;1;1),N(-1;4;3),P(-1;5;2)$ biết 3 điểm này không thẳng hàng.

Câu 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm $A(0;1;2),B(-2;4;1),P(-1;3;0)$ biết 3 điểm này không thẳng hàng.

Câu 3: Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm A(1;2;3) và đường thẳng $d: \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{3}=-z+1$

Câu 4: Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm A(1;2;3) và đường thẳng $d: \frac{-x+2}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+2}{-2}$

Câu 5: Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua 2 đường thẳng $d_1: \frac{-x+2}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+2}{-2}$ và $d_2: \frac{-x}{3}=\frac{y+2}{4}=\frac{z+1}{2}$

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!