Toán lớp 12
Chinh phục cực trị số phức bằng phương pháp đại số cực hay
Trong bài này HocThatGioi sẽ hướng dẫn cho các bạn chinh phục một cách dễ dàng bài Cực trị số phức theo phương pháp đại số. Như các bạn đã biết, đây là kiến thức cho phần vận dụng cao 9+, qua bài viết sẽ giúp các bạn hiểu rõ những cách làm cũng như tư duy giải quyết các dạng toán. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để giải quyết các bài toán này nhé!
1. Phương pháp giải cực trị số phức theo phương pháp đại số
Đầu tiên, các bạn cần nắm lại những công thức hay sử dụng:
- |z.z'| = |z|.|z'| và |k.z| = k.|z|
- |z|^2 = |z|.|\overline{z}|
- |z_1 + z_2|^2 = 2\left ( \left|z_1 \right|^2 + \left| z_2\right|^2 \right )
Và tiếp theo ta cần phải nắm một số bất đẳng thức thường áp dụng để giải quyết bài toán cực trị:
- |z_1 + z_2| \leqslant |z_1| + |z_2|, dấu bằng xảy ra khi z_1 = k.z_2, (k \geqslant 0)
- |z_1 - z_2| \leqslant |z_1| + |z_2|, dấu bằng xảy ra khi z_1 = k.z_2, (k \leqslant 0)
- |z_1 + z_2| \geqslant \left| \left|z_1\right| - \left|z_2\right|\right|, dấu bằng xảy ra khi z_1 = k.z_2, (k \leqslant 0)
- |z_1 - z_2| \geqslant \left| \left|z_1\right| - \left|z_2\right|\right|, dấu bằng xảy ra khi z_1 = k.z_2, (k \geqslant 0)
Bất đẳng thức cô-si: Cho hai số thực dương a và b khi đó: a + b \geqslant 2\sqrt{ab}
Dấu bằng xảy ra khi: a = b
Dấu bằng xảy ra khi: a = b
Bất đẳng thức bunhiacopxki: (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2 \leqslant (a_1^2 + a_2^2 +…+a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2)
Dấu bằng xảy ra khi \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = … = \frac{a_n}{b_n}, quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0
Dấu bằng xảy ra khi \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = … = \frac{a_n}{b_n}, quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0
Lưu ý: Khi đề bài cho |z| = 1 thì ta có thể đặt x = sint, y = cost
2. Bài tập minh họa cực trị số phức
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn |z \:-\: 2 \:-\: 2i = 1|. Số phức z \:-\: i có modun nhỏ nhất bằng?
Cách 1:
Ta có: |z \:-\: 2 \:-\: 2i = 1|
Đặt z = a + bi ta được (a \:-\: 2)^2 + (b \:-\: 2)^2 = 1
Đặt a-2=sint, b-2=cost
\Rightarrow a=2+sint, b=2+cost
Khi đó: \left| z \:-\: i\right|=\left|2+sint+(2+cost)i-i \right|=\sqrt{6+(4sint+2cost)}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(*)
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki: (4sint+2cost)^2 \leqslant (4^2+2^2)(sin^2t+cos^2t)
\Rightarrow -2\sqrt{5}\leqslant 4sint+2cost\leqslant 2\sqrt{5}
Để (*) đạt giá trị nhỏ nhất thì 4sint+2cost đạt giá trị nhỏ nhất.
Suy ra: \left| z \:-\: i\right| \geqslant \sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5}-1
Dấu bằng xảy ra khi: \left\{\begin{matrix}4cost=2sint \\4sint+2cost=-2\sqrt{5} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}sint=-\frac{2\sqrt{5}}{5} \\cost=\frac{-\sqrt{5}}{5} \end{matrix}\right.
Vậy z=\begin{pmatrix}2-\frac{2\sqrt{5}}{5} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2-\frac{\sqrt{5}}{5} \end{pmatrix}i
Cách 2:
Ta có: \left| z \:-\: i\right|=\left| (z \:-\: 2 \:-\:2i) + (2+i)\right|\geqslant \left|\left| z \:-\: 2 \:-\:2i\right|-\left| 2+i\right| \right|=\sqrt{5}\:-\:1
Ta có: |z \:-\: 2 \:-\: 2i = 1|
Đặt z = a + bi ta được (a \:-\: 2)^2 + (b \:-\: 2)^2 = 1
Đặt a-2=sint, b-2=cost
\Rightarrow a=2+sint, b=2+cost
Khi đó: \left| z \:-\: i\right|=\left|2+sint+(2+cost)i-i \right|=\sqrt{6+(4sint+2cost)}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(*)
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki: (4sint+2cost)^2 \leqslant (4^2+2^2)(sin^2t+cos^2t)
\Rightarrow -2\sqrt{5}\leqslant 4sint+2cost\leqslant 2\sqrt{5}
Để (*) đạt giá trị nhỏ nhất thì 4sint+2cost đạt giá trị nhỏ nhất.
Suy ra: \left| z \:-\: i\right| \geqslant \sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5}-1
Dấu bằng xảy ra khi: \left\{\begin{matrix}4cost=2sint \\4sint+2cost=-2\sqrt{5} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}sint=-\frac{2\sqrt{5}}{5} \\cost=\frac{-\sqrt{5}}{5} \end{matrix}\right.
Vậy z=\begin{pmatrix}2-\frac{2\sqrt{5}}{5} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2-\frac{\sqrt{5}}{5} \end{pmatrix}i
Cách 2:
Ta có: \left| z \:-\: i\right|=\left| (z \:-\: 2 \:-\:2i) + (2+i)\right|\geqslant \left|\left| z \:-\: 2 \:-\:2i\right|-\left| 2+i\right| \right|=\sqrt{5}\:-\:1
Câu 2. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=\left| \frac{2z+i}{z}\right| với z là số phức khác 0 và thỏa mãn \left| z\right| \geqslant 2. Tính tỉ số \frac{M}{m}
Ta có: P=\left| \frac{2z+i}{z}\right|=\frac{\left|2z+i\right|}{\left| z\right|}
\Leftrightarrow \frac{\left| 2z\right| – \left| i\right|}{\left| z\right|} \leqslant P \leqslant \frac{\left| 2z\right| + \left| i\right|}{\left| z\right|}
\Leftrightarrow \frac{3}{2}\leqslant P\leqslant \frac{5}{2}
Vậy \frac{M}{m}=\frac{5}{3}
\Leftrightarrow \frac{\left| 2z\right| – \left| i\right|}{\left| z\right|} \leqslant P \leqslant \frac{\left| 2z\right| + \left| i\right|}{\left| z\right|}
\Leftrightarrow \frac{3}{2}\leqslant P\leqslant \frac{5}{2}
Vậy \frac{M}{m}=\frac{5}{3}
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn \left|z \:-\: 3 + 4i \right|=2 và w=2z+1\:-\:i. Khi đó \left| w\right| có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
Theo bất đẳng thức tam giác ta có
\left| w\right|= \left| 2z+1\:-\:i\right|=\left| (2z\:-\:6+8i)+(7\:-\:9i)\right|
\Leftrightarrow \left| w\right| \leqslant \left| 2z \:-\: 6+8i\right|+\left| 7 \:-\:9i\right|=4+\sqrt{130}
Vậy giá tị lớn nhất của \left| w\right| là 4+\sqrt{130}
\left| w\right|= \left| 2z+1\:-\:i\right|=\left| (2z\:-\:6+8i)+(7\:-\:9i)\right|
\Leftrightarrow \left| w\right| \leqslant \left| 2z \:-\: 6+8i\right|+\left| 7 \:-\:9i\right|=4+\sqrt{130}
Vậy giá tị lớn nhất của \left| w\right| là 4+\sqrt{130}
3. Bài tập tự luyện cực trị số phức
Câu 1. Biết số phức z thỏa mãn \left|iz \:-\: 3 \right|=\left| z \:-\:2 \:-\:i\right| và \left| z\right| có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng
Câu 2. Trong các số phức z thỏa mãn \left|z \:-\: 1 +i \right|=\left| \overline{z} + 1 \:-\: 2i\right|, số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn \left| z\right|. Gọi M và m làn lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\left|z + 1 \right|+\left|z^2 \:-\:z + 1 \right|. Tính M.m
Trên đây là bài viết về Cực trị số phức bằng phương pháp đại số. Qua bài viết này, HocThatGioi đã giúp bạn nắm rõ các dạng bài cũng như phương pháp giải dạng toán trên. Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Số Phức này để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt!
Bài viết khác liên quan đến Lớp 12 – Toán – Số phức
- Lý thuyết về số phức chi tiết nhất
- Lý thuyết số phức và các tính chất quan trọng của số phức
- Tổng hợp công thức số phức cực đầy đủ và chi tiết
- Tập hợp điểm biểu diễn số phức đầy đủ và chi tiết mọi dạng bài
- 15 Bài tập tính chất của số phức có hướng dẫn giải chi tiết
- 15 Bài tập biểu diễn số phức xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia có lời giải chi tiết
- Chinh phục 10 câu cực trị số phức khó có lời giải chi tiết
- Phương trình bậc 2 số phức cực đầy đủ và chi tiết
- Phương pháp casio số phức cực chi tiết và nhanh gọn nhất
- Chinh phục cực trị số phức bằng phương pháp hình học cực chi tiết
