Tính tích phân hàm lượng giác bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Quang Thái Tháng Một 9, 2022

Xin chào các bạn, hôm nay HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn những phương pháp giải từng dạng của tích phân lượng giác đầy bằng phương pháp đổi biến số hay nhất. Hãy bắt đầu bài học hôm nay cùng HocThatGioi nhé.

1. Một số công thức – đạo hàm lượng giác trong tính tích phân

Dưới đây là các công thức quan trọng khi tính tích phân lượng giác. Các bạn hãy ghi nhớ để có thể biến đổi trong qua trình làm bài nhé.

Công thức lượng giác
$sin2x = 2sinxcosx$	$(sinx)' = cosx$
$cos2x = cos^{2}x - sin^{2}x = 2cos^{2}x - 1 = 1 - 2sin^{2}x$	$(cosx)' = -sinx$
$sin^{2}x = \frac{1 - cos2x}{2}$	$(sin^{2}x)' = sin2x$
$cos^{2}x = \frac{1 + cos2x}{2}$	$(cos^{2}x)' = -sin2x$
$sin^{3}x = \frac{3sinx - sin3x}{4}$	$(tanx') = \frac{1}{cos^{2}x} = 1 + tan^{2}x$
$cos^{3}x = \frac{3cosx + cos3x}{2}$	$(cotx)' = \frac{1}{sin^{2}x} = 1 + cot^{2}x$
$1 + tan^{2}x = \frac{1}{cos^{2}x}$
$1 + cot^{2}x = \frac{1}{sin^{2}x}$

Bảng I: Một số công thức – đạo hàm lường giác

2. Phương pháp giải tích phân lượng giác bằng phương pháp đổi biến số

Dưới đây là các phương pháp cho từng trường hợp của tích phân lượng giác.

2.1 Dạng 1

Bài toán: Tích phân có dạng $I = \int_{a}^{b}f[cosx].sinxdx$

Phương pháp: Đặt $t = cosx \Rightarrow dt = -sinxdx$ .

Ví dụ: Tính tích phân sau

I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinxcosx(1 + cosx)^{2}dx

Ta có:

I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinxcosx(1 + cosx)^{2}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinxcosx(1 + 2cosx + cos^{2}x)dx\\ = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(cosx + 2cos^{2}x + cos^{3}x).sinxdx

Đặt

t = cosx \Rightarrow dt = -sinxdx

Đổi cận:

x = 0 \Rightarrow t = 1

x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 0

Khi đó:

I = -\int_{0}^{1}(t + 2t^{2} + t^{3})dt = \int_{0}^{1}(t + 2t^{3} + t^{3})dt = (\frac{t^{2}}{2} + \frac{2t^{3}}{3} + \frac{t^{4}}{4})|_{0}^{1} = \frac{17}{12}

2.2 Dạng 2

Bài toán: Tích phân có dạng $\int_{a}^{b}f[sinx].cosxdx$

Phương pháp: Đặt $u = sinx \Rightarrow du = cosxdx$

Ví dụ: Tính tích phân sau

I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{cosx}{\sqrt{2 + cos2x}}dx

Ta có:

\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{cosx}{\sqrt{2 + cos2x}} = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{cosx}{\sqrt{3 – 2sin^{2}x}}

Đặt

t = sinx \Rightarrow dt = cosxdx

Đổi cận:

x = 0 \Rightarrow t = 0

x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{\sqrt{3}}{2}

Khi đó

I = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{dt}{\sqrt{3 – 2t^{2}}} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{dt}{\sqrt{\frac{3}{2} – t^{2}}}

Đặt

t = \sqrt{\frac{3}{2}} cosu \Rightarrow dt = -\sqrt{\frac{3}{2}}sinudu

Đổi cận:

t = 0 \Rightarrow u = \frac{\pi}{2}

t = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow u = \frac{\pi}{4}

Khi đó :

I = \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}sinudu}{\sqrt{\frac{3}{2}(1 – cos^{2}u)}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}du = \frac{\pi}{4\sqrt{2}}

2.3 Dạng 3

Bài toán: Tích phân có dạng $\int_{a}^{b}f[sin^{2}]sin2xdx$ hoặc $\int_{a}^{b}f[cos^{2}x]sin2xdx$

Phương pháp: Đặt $u = sin^{2}x \Rightarrow du = sin2xdx$ hoặc $u = cos^{2}x \Rightarrow -du = sin2xdx$

Ví dụ: Tính tích phân sau

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin2x}{1 + cos^{2}x}dx

Đặt

t = 1 + cos^{2}x \Rightarrow dt = -sin2xdx \Rightarrow sin2xdx = – dt

Đổi cận:

x = 0 \Rightarrow t = 2

x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1

I = -\int_{2}^{1}\frac{dt}{t} = \int_{1}^{2}\frac{dt}{t} = \ln |t|_{1}^{2} = \ln 2

2.4 Dạng 4

Bài toán: Tính tích phân có dạng $\int_{a}^{b}f[tanx]\frac{1}{cos^{2}x}dx$ hoặc $I = \int_{a}^{b}f[tanx](1 + tan^{2}x)dx$ .

Phương pháp: Đặt $u = tanx \Rightarrow du = \frac{1}{cos^{2}x}dx$

Ví dụ: Tính tích phân sau

I = \int_{0}^{\frac{0}{\frac{\pi}{4}}}\frac{dx}{1 + tanx}

Đặt

t = tanx \Rightarrow dt = \frac{1}{cos^{2}x}dx = (1 + tan^{2}x)dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{1 + tan^{2}x} = \frac{dt}{1 + t^{2}}

Đổi cận

x = 0 \Rightarrow t = 0

x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t = 1

Khi đó

I = \int_{0}^{1}\frac{dt}{(1 + t)(1 + t^{2})} =\int_{0}^{1}[\frac{1}{2(1 + t)} – \frac{t – 1}{2(1 + t^{2})}]dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{dt}{1 + t} – \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{tdt}{t^{2} + 1} + \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^{2} + 1} = I_{1} + I_{2} + I_{3}

I_{1} = \frac{1}{2}\ln |t + 1||_{0}^{1} = \frac{\ln 2}{2}

I_{2} = \frac{1}{4}\int_{0}^{1}\frac{d(t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} = \frac{1}{4}\\n |t^{2} + 1||_{0}^{1} = \frac{\ln 2}{4}

I_{3} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}du = \frac{\pi}{8}

(với

t = tanu

)
Vậy

I = \frac{\pi}{8} + \frac{\ln 2}{4}

2.5 Dạng 5

Bài toán: Tính tích phân có dạng $\int_{a}^{b}f[cotx]\frac{1}{sin^{2}x}dx$ hoặc $I = \int_{a}^{b}f[cotx](1 + cot^{2}x)dx$ .

Phương pháp: Đặt $u = cotx \Rightarrow du = -\frac{1}{sin^{2}x}dx$

Ví dụ: Tính tích phân sau:

I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[3]{sin^{3}x – sinx}}{sin^{3}x}cotxdx

I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[3]{sin^{3}x – sinx}}{sin^{3}x}cotxdx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt[3]{1 – \frac{1}{sin^{2}x}}.\frac{cotx}{sin^{x}}dx

Đặt

t = cotx \Rightarrow dt = -\frac{1}{sinx}dx

Đổi cận:

x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 0

x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{\sqrt{3}}

Khi đó:

I = -\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{0}\sqrt[3]{-t^{2}}.tdt = \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{0}t^{\frac{5}{3}}dt = – \frac{1}{8}\sqrt[3]{3}

2.6 Dạng 6

Bài toán: Tích phân có dạng $\int_{a}^{b}f(sinx + cosx).(sinx - cosx)dx$ hoặc $\int_{a}^{b}f (sinx - cosx).(sinx + cosx)dx$

Phương pháp: Đặt $u = sinx + cosx \Rightarrow du = -(sinx - cosx)dx$ hoặc $u = sinx - cosx \Rightarrow du = (sinx + cosx)dx$

Ví dụ: Tính tích phân sau

I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{cos2x}{sinx + cosx + 2}dx

Ta có:

I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{cos2x}{sinx + cosx + 2}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{(cosx – sinx)(cosx + sinx)}{sinx + cosx + 2}dx

Đặt

t = cosx + sinx + 2 \Rightarrow dt = (cosx – sinx)dx

Đổi cận

x = 0 \Rightarrow t = 3

x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t = 2 + \sqrt{2}

Khi đó:

I = \int_{3}^{2 + 2\sqrt{2}}\frac{t – 2}{t}dt = (t – 2\ln |t|)|_{3}^{2 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} – 1 + 2\ln\frac{3}{2 + \sqrt{2}}

Trên đây là bài viết Tính tích phân hàm lượng giác bằng phương pháp đổi biến số cực hay mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương tích phân để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt