Phương pháp giải và bài tập tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay

Quang Thái Tháng Một 6, 2022

Xin chào các bạn, bài viết hôm nay sẽ giúp các bạn giải quyết được dạng toán tích phân chứa giá trị tuyệt đối một cách dễ dàng cũng như có một số bài tập giúp các bạn rèn luyện. Hãy thei dõi hết bài viết của HocThatGioi nhé.

1. Phương pháp giải tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài toán: Tính $\int_{a}^{b}g(x)dx$ với ( $g(x)$ là biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối)

Phương pháp chung:

Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên [a;b]
Dựa vào dấu để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng: sử dụng tính chất sau $\int_{a}^{b}[f(x) + g(x)]dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{a}^{b}g(x)dx$
Tính mỗi tích phân thành phần

Đặc biệt: Tính tích phân $I = \int_{a}^{b}|f(x)|dx$

Cách giải 1:

Cho $f(x) = 0$ tìm nghiệm trên [a;b]
Xét dấu của $f(x)$ trên $[a;b]$ dựa vào dấu của $f(x)$ để tính tích phân mỗi đoạn tương ứng: sử dụng tính chất sau để tách: $\int_{a}^{b}[f(x) + g(x)]dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{a}^{b}g(x)dx$
Tính mỗi tích phần thành phần

Ví dụ minh hoạ: Tính tích phân

I = \int_{0}^{2}|x – 1|dx

Ta có :

x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1

. Ta có bảng xét dấu như hình dưới
Khi đó

I = -\int_{0}^{1}(x – 1)dx + \int_{1}^{2}(x – 1)dx = -(\frac{x^{2}}{2} – x)|_{0}^{1} + (\frac{x^{2}}{2} – x)|_{1}^{2} = 1

Phương pháp giải và bài tập tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay 5

Cách giải 2:

Cho $f(x) = 0$ tìm nghiệm trên $[a;b]$ giả sử có các nghiệm $x_{1}, x_{2},..x_{n}$ với $(x_{1} < x_{2} < x_{n})$
Khi đó $I = \int_{a}^{x_{1}}|f(x)|dx + \int_{x_{1}}^{x_{2}}|f(x)|dx + ... + \int_{x_{n}}^{b}|f(x)|dx$ $\Rightarrow I = |\int_{a}^{x_{1}}f(x)dx| + |\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx| + ... + |\int_{x_{n}}^{b}|f(x)dx|$
Tính mỗi tích phân thành phần

Để thấy rõ hiệu quả 2 cách giải, chúng ta sẽ lấy ví dụ trên nhé.

Ví dụ minh hoạ: Tính tích phân

I = \int_{0}^{2}|x – 1|dx

Cho

x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1

Khi đó

I = \int_{0}^{1}|x – 1|dx = \int_{0}^{1}|x – 1|dx + \int_{1}^{2}|x – 1|dx = |\int_{0}^{1}(x – 1)dx| + |\int_{1}^{2}(x – 1)dx|

= |(\frac{x^{2}}{2} – x)|_{0}^{1}| + |(\frac{x^{2}}{2} – x)|_{1}^{2}| = 1

2. Bài tập tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Tính tích phân

\int_{-2}^{2}|x + 1|dx

a. 2
b. 3
c. 4
d. 5

2. Tính tích phân

\int_{-2}^{2}|x^{2} – 1|dx

a. 2
b. 3
c. 4
d. 5

3. Tính tích phân

\int_{0}^{2}|x^{2} – 4x + 3|dx

a. 1
b. 2
c. 3
d. 4

4. Tính tích phân

\int_{0}^{2}x|1 – x|dx

a. 1
b. 2
c. 3
d. -1

5. Tính tích phân

\int_{-1}^{1}|e^{x} – 1|dx

a. $\frac{1}{e} + e – 2$
b. $\frac{1}{e} + e + 2$
c. $\frac{1}{e} – e – 2$
d. $\frac{1}{e} + e$

6. Tính tích phân

\int_{-1}^{5}|x^{2} – 2x – 3|dx

a. 0
b. $\frac{64}{3}$
c. 7
d. 15

7. Tính tích phân

\int_{0}^{1}|x – 2|dx

a. $\frac{1}{2}$
b. $1$
c. $\frac{3}{2}$
d. $2$

8. Tính tích phân

\int_{-1}^{5}|x^{2} – 3x + 2|dx

a. $\frac{-19}{2}$
b. $\frac{19}{2}$
c. $\frac{28}{6}$
d. $19$

9. Tính tích phân

\int_{\frac{1}{2}}^{2}|1 – \frac{1}{x^{2}}|dx

a. 5
b. 2
c. 3
d. 1

10. Tính tích phân

I = \int_{-1}^{1}|x^{3} + x^{2} – x – 1|dx

ta được kết quả là

I = \frac{a}{b}

. Khi đó tổng

a + b

là:

a. 7
b. 3
c. 5
d. 9

Như vậy, bài viết về Phương pháp giải và bài tập tích phân chưa dấu giá trị tuyệt đối cực hay của HocThatGioi đến đây đã hết. Qua bài viết hi vọng sẽ giúp các bạn hiểu hơn về bài tập tụ điện. Đừng quên Like và Share để giúp HocThatGioi ngày càng phát triển nhé. Cuối cùng, cảm ơn tất cả các bạn đã theo dõi hết bài viết và chúc các bạn học tốt.