Toán lớp 12

Tính tích phân hàm lượng giác bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Xin chào các bạn, hôm nay HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn những phương pháp giải từng dạng của tích phân lượng giác đầy bằng phương pháp đổi biến số hay nhất. Hãy bắt đầu bài học hôm nay cùng HocThatGioi nhé.

1. Một số công thức – đạo hàm lượng giác trong tính tích phân

Dưới đây là các công thức quan trọng khi tính tích phân lượng giác. Các bạn hãy ghi nhớ để có thể biến đổi trong qua trình làm bài nhé.

Công thức lượng giác
sin2x = 2sinxcosx (sinx)' = cosx
cos2x = cos^{2}x - sin^{2}x = 2cos^{2}x - 1 = 1 - 2sin^{2}x (cosx)' = -sinx
sin^{2}x = \frac{1 - cos2x}{2} (sin^{2}x)' = sin2x
cos^{2}x = \frac{1 + cos2x}{2} (cos^{2}x)' = -sin2x
sin^{3}x = \frac{3sinx - sin3x}{4} (tanx') = \frac{1}{cos^{2}x} = 1 + tan^{2}x
cos^{3}x = \frac{3cosx + cos3x}{2} (cotx)' = \frac{1}{sin^{2}x} = 1 + cot^{2}x
1 + tan^{2}x = \frac{1}{cos^{2}x}
1 + cot^{2}x = \frac{1}{sin^{2}x}
Bảng I: Một số công thức – đạo hàm lường giác

2. Phương pháp giải tích phân lượng giác bằng phương pháp đổi biến số

Dưới đây là các phương pháp cho từng trường hợp của tích phân lượng giác.

2.1 Dạng 1

Bài toán: Tích phân có dạng I = \int_{a}^{b}f[cosx].sinxdx

Phương pháp: Đặt t = cosx \Rightarrow dt = -sinxdx.

Ví dụ: Tính tích phân sau I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinxcosx(1 + cosx)^{2}dx
    Ta có:
    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinxcosx(1 + cosx)^{2}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinxcosx(1 + 2cosx + cos^{2}x)dx\\ = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(cosx + 2cos^{2}x + cos^{3}x).sinxdx
    Đặt t = cosx \Rightarrow dt = -sinxdx
    Đổi cận:
    x = 0 \Rightarrow t = 1
    x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 0
    Khi đó:
    I = -\int_{0}^{1}(t + 2t^{2} + t^{3})dt = \int_{0}^{1}(t + 2t^{3} + t^{3})dt = (\frac{t^{2}}{2} + \frac{2t^{3}}{3} + \frac{t^{4}}{4})|_{0}^{1} = \frac{17}{12}

    2.2 Dạng 2

    Bài toán: Tích phân có dạng \int_{a}^{b}f[sinx].cosxdx

    Phương pháp: Đặt u = sinx \Rightarrow du = cosxdx

    Ví dụ: Tính tích phân sau I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{cosx}{\sqrt{2 + cos2x}}dx
      Ta có:
      \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{cosx}{\sqrt{2 + cos2x}} = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{cosx}{\sqrt{3 – 2sin^{2}x}}
      Đặt t = sinx \Rightarrow dt = cosxdx
      Đổi cận:
      x = 0 \Rightarrow t = 0
      x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{\sqrt{3}}{2}
      Khi đó I = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{dt}{\sqrt{3 – 2t^{2}}} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{dt}{\sqrt{\frac{3}{2} – t^{2}}}
      Đặt t = \sqrt{\frac{3}{2}} cosu \Rightarrow dt = -\sqrt{\frac{3}{2}}sinudu
      Đổi cận:
      t = 0 \Rightarrow u = \frac{\pi}{2}
      t = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow u = \frac{\pi}{4}
      Khi đó : I = \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}sinudu}{\sqrt{\frac{3}{2}(1 – cos^{2}u)}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}du = \frac{\pi}{4\sqrt{2}}

      2.3 Dạng 3

      Bài toán: Tích phân có dạng \int_{a}^{b}f[sin^{2}]sin2xdx hoặc \int_{a}^{b}f[cos^{2}x]sin2xdx

      Phương pháp: Đặt u = sin^{2}x \Rightarrow du = sin2xdx hoặc u = cos^{2}x \Rightarrow -du = sin2xdx

      Ví dụ: Tính tích phân sau \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin2x}{1 + cos^{2}x}dx
        Đặt t = 1 + cos^{2}x \Rightarrow dt = -sin2xdx \Rightarrow sin2xdx = – dt
        Đổi cận:
        x = 0 \Rightarrow t = 2
        x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1
        I = -\int_{2}^{1}\frac{dt}{t} = \int_{1}^{2}\frac{dt}{t} = \ln |t|_{1}^{2} = \ln 2

        2.4 Dạng 4

        Bài toán: Tính tích phân có dạng \int_{a}^{b}f[tanx]\frac{1}{cos^{2}x}dx hoặc I = \int_{a}^{b}f[tanx](1 + tan^{2}x)dx.

        Phương pháp: Đặt u = tanx \Rightarrow du = \frac{1}{cos^{2}x}dx

        Ví dụ: Tính tích phân sau I = \int_{0}^{\frac{0}{\frac{\pi}{4}}}\frac{dx}{1 + tanx}
          Đặt t = tanx \Rightarrow dt = \frac{1}{cos^{2}x}dx = (1 + tan^{2}x)dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{1 + tan^{2}x} = \frac{dt}{1 + t^{2}}
          Đổi cận
          x = 0 \Rightarrow t = 0
          x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t = 1
          Khi đó I = \int_{0}^{1}\frac{dt}{(1 + t)(1 + t^{2})} =\int_{0}^{1}[\frac{1}{2(1 + t)} – \frac{t – 1}{2(1 + t^{2})}]dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{dt}{1 + t} – \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{tdt}{t^{2} + 1} + \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^{2} + 1} = I_{1} + I_{2} + I_{3}.
          I_{1} = \frac{1}{2}\ln |t + 1||_{0}^{1} = \frac{\ln 2}{2}
          I_{2} = \frac{1}{4}\int_{0}^{1}\frac{d(t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} = \frac{1}{4}\\n |t^{2} + 1||_{0}^{1} = \frac{\ln 2}{4}
          I_{3} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}du = \frac{\pi}{8} (với t = tanu)
          Vậy I = \frac{\pi}{8} + \frac{\ln 2}{4}

          2.5 Dạng 5

          Bài toán: Tính tích phân có dạng \int_{a}^{b}f[cotx]\frac{1}{sin^{2}x}dx hoặc I = \int_{a}^{b}f[cotx](1 + cot^{2}x)dx.

          Phương pháp: Đặt u = cotx \Rightarrow du = -\frac{1}{sin^{2}x}dx

          Ví dụ: Tính tích phân sau: I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[3]{sin^{3}x – sinx}}{sin^{3}x}cotxdx
            I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[3]{sin^{3}x – sinx}}{sin^{3}x}cotxdx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt[3]{1 – \frac{1}{sin^{2}x}}.\frac{cotx}{sin^{x}}dx
            Đặt t = cotx \Rightarrow dt = -\frac{1}{sinx}dx
            Đổi cận:
            x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 0
            x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{\sqrt{3}}
            Khi đó: I = -\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{0}\sqrt[3]{-t^{2}}.tdt = \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{0}t^{\frac{5}{3}}dt = – \frac{1}{8}\sqrt[3]{3}

            2.6 Dạng 6

            Bài toán: Tích phân có dạng \int_{a}^{b}f(sinx + cosx).(sinx - cosx)dx hoặc \int_{a}^{b}f (sinx - cosx).(sinx + cosx)dx

            Phương pháp: Đặt u = sinx + cosx \Rightarrow du = -(sinx - cosx)dx hoặc u = sinx - cosx \Rightarrow du = (sinx + cosx)dx

            Ví dụ: Tính tích phân sau I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{cos2x}{sinx + cosx + 2}dx
              Ta có: I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{cos2x}{sinx + cosx + 2}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{(cosx – sinx)(cosx + sinx)}{sinx + cosx + 2}dx
              Đặt t = cosx + sinx + 2 \Rightarrow dt = (cosx – sinx)dx
              Đổi cận
              x = 0 \Rightarrow t = 3
              x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t = 2 + \sqrt{2}
              Khi đó:
              I = \int_{3}^{2 + 2\sqrt{2}}\frac{t – 2}{t}dt = (t – 2\ln |t|)|_{3}^{2 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} – 1 + 2\ln\frac{3}{2 + \sqrt{2}}

              Trên đây là bài viết Tính tích phân hàm lượng giác bằng phương pháp đổi biến số cực hay mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương tích phân để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt

              Bài viết khác liên quan đến Lớp 12 – Toán – Tích phân
              Back to top button
              Close