Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học cực hay

Quang Thái Tháng Một 13, 2022

Xin chào các bạn, bài học hôm nay sẽ đem đến cho các bạn cách tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể,… bằng tích phân. Hãy theo dõi hết bài viết cùng HocThatGioi nhé.

1. Diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ được xác định:

Diện tích hình phẳng

S = \int_{a}^{b}|f(x)|dx

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x), y = g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$ được xác định:

Diện tích hình phẳng

S = \int_{a}^{b}|f(x) – g(x)|dx

Lưu ý: Nếu đoạn

[a;b]

, hàm số

f(x)

không đổi dấu thì:

\int_{a}^{b}|f(x)|dx = |\int_{a}^{b}f(x)dx|

2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

Dưới đây là khái niệm thể tích vật thể và thể tích khôi tròn xoay.

2.1 Thể tích vật thể

Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học cực hay 4 — Thể tích vật thể

Gọi $B$ là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $a$ và $b; S(x)$ là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x, (a \leq x \leq b). Giả sử [katex]S(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a; b].$ .

Khi đó thể tích của vật $B$ được xác định:

Thể tích vật thể

V = \int_{a}^{b}S(x)dx

2.2 Thể tích khối tròn xoay

Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học cực hay 5 — Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh $y = f(x), x = a, x = b$

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ quanh trục $Ox$ :

Thể tích khối tròn xoay

V_{x} = \pi\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx

Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học cực hay 6 — Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh $x = g(y), y = c, y = d$

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $x = g(y)$ , trục hoành và hai đường thẳng $y = c, y = d$ quanh trục $Oy$ : $V_{y} = \pi\int_{c}^{d}[g(y)]^{2}dy$

Lưu ý: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bới các đường

y = f(x), y = g(x)

và hai đường thẳng

x = a, x = b

quanh trục

Ox

V = \pi\int_{a}^{b}|f^{2}(x) - g^{2}(x)|dx

Trên đây là bài viết Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học cực hay mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương tích phân để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.