Chinh phục cực trị số phức bằng phương pháp hình học cực chi tiết

Đại Toàn Tháng Một 12, 2022

Trong bài này HocThatGioi sẽ hướng dẫn cho các bạn chinh phục một cách dễ dàng bài Cực trị số phức theo phương pháp hình học. Và trước khi học bài này, các bạn hãy xem lại bài chinh phục cực trị số phức bằng phương pháp đại số. Như các bạn đã biết, đây là kiến thức cho phần vận dụng cao 9+, qua bài viết sẽ giúp các bạn hiểu rõ những cách làm cũng như tư duy giải quyết các dạng toán. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để giải quyết các bài toán này nhé!

Cho số phức $z = a + bi$ (giả thiết đi xuyên suốt bài viết) và điểm $M$ là điểm biểu diễn số phức $z$

1. Quỹ tích số phức là đường thẳng

Nếu sau khi biến đổi ta được $ax + by + c = 0, ( \Delta )$ thì ta kết luận $M$ thuộc đường thẳng $( \Delta )$

Nên $\left| z\right|_{min}=d_{(O, \Delta) }$ với $d_{(O, \Delta) }$ là khoảng cách từ O đến đường thẳng $\Delta$

Chứng minh:

Chinh phục cực trị số phức bằng phương pháp hình học cực chi tiết 4 — Hình ảnh minh họa chứng minh

Ta có $\left|z \right|=OM\geqslant OH$ (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông)

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left|z \right| = OH$ khi $M\equiv H$

Câu 1. Trong các số phức

z

thỏa mãn

\left|z\:-\: 1 + i \right| = \left|\overline{z}+1\:-\:2i \right|

, số phức

z

có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là

Ta có:

\left|z\:-\: 1 + i \right| = \left|\overline{z}+1\:-\:2i \right|

\Leftrightarrow 4x+2y+3=0 \:\:\:(d)

Như ta đã biết, môđun số phức

z = OH

nhỏ nhất khi

H

là hình chiếu của

O

đến đường thẳng

(d)

Phương trình đường thẳng

OH

đi qua

O

và vuông góc với

(d)

là:

x\:-\:2y=0

.
Tọa điểm điểm M là nghiệm của 2 đường thẳng trên
Ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm

M

là

M\left ( \frac{-3}{5};\frac{-3}{10} \right )

Vậy phần ảo của số phức

z

có môđun nhỏ nhất là

\frac{-3}{10}

2. Quỹ tích số phức là đường tròn

Nếu sau khi biến đổi ta được $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2, (C)$ thì ta kết luận $M$ thuộc đường tròn tâm $I(a;b)$ , bán kính $R$ .

Chinh phục cực trị số phức bằng phương pháp hình học cực chi tiết 5 — Hình ảnh minh họa biểu diễn số phức là đường tròn

Khi đó: $\left| z_{max}\right| = OA$ và $\left| z_{min}\right| = OB$

Và ta tính $OA, OB$ bằng cách sau: $OA = OI + R, OB = OI - R$

Để hiểu rõ hơn cách làm, chúng ta hãy cùng nhau phân tích ví dụ bên dưới để làm rõ hơn nhé

Bài tập 2: Cho số phức

z

thỏa mãn

\left|z – 2 – 2i \right| = 1

. Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất môđun số phức

z

Ta có:

\left|z – 2 – 2i \right| = 1

\Leftrightarrow (x\:-\:2)^2+(y\:-\:2)^2 = 1

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức

z

thuộc đường tròn tâm

I(2;2)

và bán kính

R = 1

Chinh phục cực trị số phức bằng phương pháp hình học cực chi tiết 6 — Hình ảnh minh họa biểu diễn số phức là đường tròn

Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của số phức

z

lần lượt là

OA, OB

với

OA = OI + R, OB = OI \:-\: R

Mà ta có

OI = 2\sqrt{2}, R=1

Do đó:

OA = 2\sqrt{2} + 1, OB =2\sqrt{2} \:-\: 1

Với phương pháp cực trị bằng phương pháp hình học, các bạn cần nắm được tập hợp điểm biểu diễn số phức. Với lượng lý thuyết đi vào trọng tâm và có ví dụ minh họa, hy vọng các bạn độc giả có thế nắm được phần nào để áp dụng vào đề thi THPT Quốc Gia nhé !!!

Trên đây là bài viết về Cực trị số phức bằng phương pháp hình học. Qua bài viết này, HocThatGioi đã giúp bạn nắm rõ các dạng bài cũng như phương pháp giải dạng toán trên. Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Số Phức này để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt!