Phương pháp tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số hay nhất

Quang Thái Tháng Một 6, 2022

Xin chào các bạn, bài học hôm nay sẽ giới thiệu tới các bạn phương pháp tính tích phân rất phổ biến mà chắc chắn rằng các bạn phải thành thạo phương pháp này mới có thể giải quyết được các bài toán tích phân đó là phương pháp tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. Hãy theo dõi hết bài viết cùng HocThatGioi nhé.

1. Phương pháp tính tích phân đổi biến số

Cho hàm số $u=u(x)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ và hàm số $y=f(x)$ liên tục sao cho hàm hợp $f(u(x))$ xác định trên $K$ . Khi đó nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ thì

Tích phân đổi biến số

\int_{a}^{b}[f(x)].u'(x)dx = F[u(x)]|_{a}^{b} = F[u(b)] – F[u(a)]

Các bước tính tích phân đổi biến số:

Biến đổi để chọn phép đăt $t = u(x) \Rightarrow dt = u'(x)dx$ (quan trọng)
Đổi cận $\left\{\begin{matrix}x = b\\x = a\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}t = u(b)\\t = u(a)\end{matrix}\right.$ (nhớ: đổi biến phải đổi cận)
Đưa về dạng $I = \int_{u(a)}^{u()b}f(t)dt$ đơn giản hơn và dễ tính hơn.

Ví dụ minh hoạ: Tính nguyên hàm

\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{1 + x^{2}}dx

Xét

\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{1 + x^{2}}dx = \int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}.xdx

.
Đặt

t = 1 + x^{2} \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow \frac{1}{2}dt = xdx

và

x^{2} = t – 1

Đổi cận

x = 0 \Rightarrow t = 1; x = 1 \Rightarrow t = 2

.
Khi đó

\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{t – 1}{t}dt = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}(1 – \frac{1}{t})dt = \frac{1}{2}(t – \ln |t|)|_{1}^{2} = \frac{1}{2}(1 – \ln 2)

2. Một số phương pháp đổi biến số thường gặp

STT	Dạng phân tích	Cách đặt	Đặc điểm nhận dạng
1	$\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx$	$t = f(x)$	Biểu thức dưới mẫu
2	$\int f[e^{t(x)}]t'(x)dx$	$t = t(x)$	Biểu thức ở phần số mũ
3	$\int f[t(x)]t'(x)dx$	$t = t(x)$	Biểu thức trong dấu ngoặc
4	$\int f[\sqrt[n]{t(x)}t'(x)dx$	$t = \sqrt[n]{t(x)}$	Căn thức
5	$\int f(\ln x)\frac{dx}{x}$	$t = \ln x$	$\frac{dx}{x}$ đi kèm theo biểu thức $\ln x$
6	$\int f(sinx).coxdx$	$t = sinx$	$cosxdx$ đi kèm theo biểu thức sinx
7	$\int f(cosx)sinxdx$	$t = cosx$	$sinxdx$ đi kèm theo biểu thức cosx
8	$\int f(tanx)\frac{dx}{cos^{2}x}$	$t = tanx$	$\frac{dx}{cos^{2}x}$ đi kèm theo tanx
9	$\int f(cotx)\frac{dx}{sin^{2}x}$	$t = cotx$	$\frac{dx}{sin^{2}x}$ đi kèm theo cotx
10	$\int f(e^{ax})e^{ax}dx$	$t = e^{ax}$	$e^{ax}dx$ đi kèm theo $e^{ax}$
11	$\int f(\sqrt{a^{2} - x^{2}}).x^{chẵn}dx$	$x = asint$ hoặc $x = acost$	$x^{chẵn}dx$ đi kèm biểu thức $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$
12	$\int f(\sqrt{a^{2} + x^{2}}).x^{chẵn}dx$	$x = atant$ hoặc $x = acot t$	$x^{chẵn}dx$ đi kèm biểu thức $\sqrt{a^{2} + x^{2}}$
13	$\int f(\sqrt{x^{2} - a^{2}})x^{chẵn}dx$	$x = \frac{a}{sint}$ hoặc $x = \frac{a}{cost}$	$x^{chẵn}dx$ đi kèm biểu thức $\sqrt{x^{2} - a^{2}}$
	$\int f(\sqrt{\frac{a \pm x}{a \mp x}})dx$	$x = acost2t$	Có biểu thức $\sqrt{\frac{a \pm x}{a \mp x}}$
	$\int\frac{dx}{\sqrt{(ax + b)(cx + d)}}$	$t = \sqrt{ax + b} + \sqrt{cx + d}$	Dưới mẫu xuất hiện biểu thức $\sqrt{(ax + b)(cx + d)}$

Bảng I: Đổi biến số các hàm thường gặp

Như vậy, bài viết về Phương pháp tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số hay nhất của HocThatGioi đến đây đã hết. Qua bài viết hi vọng sẽ giúp các bạn tiếp thu được những kiến thức bổ ích. Đừng quên Like và Share để giúp HocThatGioi ngày càng phát triển. Cuối cùng, cảm ơn tất cả các bạn đã theo dõi hết bài viết và chúc các bạn học tốt!