Khái niệm và các tính chất của tích phân đầy đủ nhất

Quang Thái Tháng Một 3, 2022

Xin chào các bạn, bài học hôm nay sẽ giúp các bạn hiểu được như thế nào là tích phân và nắm bắt được một số tính chất cơ bản của tích phân. Hãy theo dõi hết bài viết cùng HocThatGioi nhé.

1. Khái niệm tích phân

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn [a; b], với a < b. Nếu $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn [a;b] thì giá trị $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân của hàm số $f(x)$ trên đoạn [a;b]

Ký hiệu tích phân

\int_{a}^{b} f(x)dx = F(x)|_{a}^{b} = F(b) – F(a)

Trong đó:

a, b

được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân

Ý nghĩa hình học: Giả sử hàm số $y = f(x)$ là hàm số liên tục và không âm trên đoạn $[a;b]$ . Khi đó, tích phân $\int_{a}^{b} f(x)dx$ chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = f(x)$ , trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$ , với $a < b$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

f(x)

S = \int_{a}^{b} f(x)dx

Ví dụ minh hoạ:

Hàm số

f(x) = x^{2} + 2x + 1

có đồ thị

(C)

. Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi

(C)

, trục Ox và hai đường thẳng

x = - 1

và

x = 1

Diện tích tam giác cong giới hạn bởi

(C)

, trục Ox và hai đường thẳng

x = - 1

và

x = 1

là:

S = \int_{-1}^{1} f(x)dx = \int_{-1}^{1} (x^{2} + 2x + 1)dx = (\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x)|_{-1}^{1} = \frac{8}{3}

2. Các tính chất của tích phân

Ngoài những tính chất cơ bản của tích phân, HọcThatGioi sẽ đem đến cho các bạn những tích phân mở rộng khác

2.1 Tính chất cơ bản của tích phân

Tính chất 1: $\int_{a}^{b} kf(x)dx = \int_{a}^{b} f(x)dx$ với $k$ là hằng số

Tính chất 2: $\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)]dx = \int_{a}^{b} f(x)dx \pm \int_{a}^{b} g(x)dx$

Tính chất 3: $\int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx$ với $a < c < b$

2.2 Tính chất mở rộng của tích phân

1. $\int_{a}^{b}0 = 0$	1. $\int_{a}^{a} f(x)dx = 0$
2. $\int_{a}^{b}f(x)dx = -\int_{b}^{a}f(x)dx$	2. $\int_{a}^{b}cdx = c(a - b)$
3. $f(x) \geq 0, \forall x \in [a;b]$ thì $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq 0$	4. $f(x) \leq g(x), \forall x \in [a;b]$ thì $\int_{a}^{b}f(x)dx \leq g(x)$
5. Nếu $f(x)$ là hàm số chẵn thì $\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx$	6. Nếu $f(x)$ là một hàm số lẻ thì $\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0$
7. $\|\int_{a}^{b}f(x)dx\| \leq \int_{a}^{b}\|f(x)dx\|$	8. Nếu $m \leq f(x) \leq M, \forall x \in [a;b]$ thì $m(b - a) \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq M(b - a)$

Bảng I: Tính chất mở rộng của tích phân

Trên đây là bài viết Khái niệm và các tính chất của tích phân đầy đủ nhất mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương tích phân để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.