Phương pháp giải tích phân hàm số hữu tỉ hay nhất

Quang Thái Tháng Một 6, 2022

Xin chào các bạn, bài học sẽ đem đên cho các bạn những phương pháp tính tích phân của hàm số hửu tỉ cho tường trường hợp khác nhau cũng như sẽ có một số bài tập để các bạn khái quát kiến thức. Hãy theo dõi hết bài viết cùng HocThatGioi nhé.

1. Trường hợp bậc của tử P(x) $\geq$ bậc của mẫu Q(x).

Nếu bậc của $P(x) \geq Q(x)$ thì ta thực hiện chia đa thức.

Ví dụ minh hoạ: Tính tích phân sau

I = \int_{1}^{2}\frac{x^{2} – 9}{x + 3}dx

Ta có

\int_{1}^{2}\frac{x^{2} – 9}{x + 3}dx = \int_{1}^{2}\frac{(x – 3)(x + 3)}{x + 3}dx = \int_{1}^{2}(x – 3)dx = (\frac{x^{2}}{2} – 3x)|_{1}^{2} = \frac{-3}{2}

2. Trường hợp bậc của tử P(x) < bậc của mẫu Q(x)

Với trường hợp này chúng sẽ xét đa thức Q(x) có nghiệm hay không.

2.1 Phương trình Q(x) không có nghiệm phức và các nghiệm đều là nghiệm đơn

Q(x)=(a_{1}​x+b_{1}​)(a_{2}​x+b_{2}​x)...(a_{n}​x+b_{n}​)

Số nhân tử chính bằng bậc của đa thức Q(x).

Trong trường hợp này chúng ta sẽ biểu diễn $\frac{P(x)}{Q(x)}$ dưới dạng: $\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_{1}}{a_{1}x + b_{1}} + \frac{A_{2}}{a_{2}x + b_{2}} +...+ \frac{A_{n}}{a_{n}x + b_{n}}$

Nhận xét: Sau khi biểu diễn dưới dạng này, bài toán trở thành bài toán cơ bản

Ví dụ minh hoạ: Tính tích phân sau

\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2} + 3x + 2}dx

là

\frac{1}{x^{2} + 3x + 2} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} = \frac{A(x + 2) + B(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}2A + B = 1\\A + B = 0\end{matrix}\right. \Rightarrow A = 1\\ B = -1

.
(Phần này các bạn nên làm nháp)
Khi đó

I = \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2} + 3x + 2}dx = \int_{0}^{2}(\frac{1}{x + 1} – \frac{1}{x + 2})dx = (\ln |x + 1| – \ln |x + 2|)|_{0}^{1} = \ln\frac{2}{3} – \ln\frac{1}{2}

2.2 Phương trình Q(x) không có nghiệm phức nhưng có nghiệm thực là nghiệm bội

Nếu phương trình $Q(x) = 0$ có các nghiệm $a_{1}, a_{2},... a_{n}$ trong đó $a_{1}$ là nghiệm bội k thì ta phân tích $\frac{P(x)}{Q(x)}$ về dạng : $\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_{1}}{x - a_{1}} + \frac{A_{2}}{(x - a_{1})^{2}} +...+ \frac{A_{k}}{(x - a_{1})^{k}} + \frac{B_{1}}{x - a_{2}} + ... + \frac{B_{n + 1}}{x - a_{n}}$

Trên đây là lý thuyết phức tạp, chúng ta sẽ đến với ví dụ đơn giản như sau :

Ví dụ minh hoạ: Tính tích phân sau

\int_{2}^{3}\frac{2x}{(x – 1)^{3}}

Nhận thấy x = 1là nghiệm bội của phương trình, do đó ta biến đối :

\frac{2x}{(1 – x)^{3}} = \frac{A}{(1 – x)} + \frac{B}{(1 – x)^{2}} + \frac{C}{(1 – x)^{3}} = \frac{A(x^{2} – 2x + 1) + B(1 – x) + C}{(1 – x)^{3}} = \frac{Ax^{2} + (-2A -B)x + A + B + C}{(1 – x)^{3}}

Đồng nhất hệ số ta có:

A = 0; B = -2; C = 2

Ta có :

\int_{2}^{3}\frac{2x}{(1 – x)^{3}} dx = \int_{2}^{3}(\frac{-2}{(1 – x)^{2}} + \frac{2}{(1 – x)^{3}})dx = \frac{2}{x – 1} – \frac{1}{(x – 1)^{2}}|_{2}^{3} = \frac{7}{4}

2.3 Phương trình Q(x) vô nghiệm

Thêm bớt để biến đổi hoặc lượng giác hoá bằng cách đặt $X = a.tant$ , nếu Q(x) có dạng $X^{2} + a^{2}$ .

Ví dụ minh hoạ; Tính nguyên hàm

\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2} + 4x + 7}dx

Ta có :

\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2} + 4x + 7}dx = \int_{0}^{1}\frac{1}{(x + 2)^{2} + 3}dx

Đặt

x + 2 = \sqrt{3}tant \Rightarrow dx = \sqrt{3}(1 + tan^{2}t)dt

. Đổi cận

x = 0 \Rightarrow t = arctan\frac{2}{\sqrt{3}}, x = 1 \Rightarrow t = arctan\frac{3}{\sqrt{3}}

.
Khi đó :

I = \int_{arctan(2/\sqrt{3})}^{arctan(3/\sqrt{3})}\frac{1}{(\sqrt{3}tant)^{2} + 3}(1 + tan^{2}t)dt = \int_{arctan(2/\sqrt{3})}^{arctan(3/\sqrt{3})}\frac{1}{3}dt = \frac{1}{3}(arctan\frac{3}{\sqrt{3}} – arctan\frac{2}{\sqrt{3}})

Trên đây là bài viết Phương pháp giải tích phân hàm số hữu tỉ hay nhất mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương tích phân để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tố