Phương pháp tính tích phân hàm ẩn cực hay

Quang Thái Tháng Một 9, 2022

Xin chào các bạn, tích phân hàm ẩn là một trong những dạng toán ở mức vận dụng – vận dung cao và cũng hay xuất hiện nhiều trong các đề thi. Vì vậy hôm nay HocThatGioi sẽ cũng các bạn giải quyết dạng toán này. Hãy bắt đầu buổi học cùng HocThatGioi nhé.

1. Dạng 1: Sử dụng tích phân hàm ẩn đê tính giá trị hàm số

Lý thuyết: Nếu $u(x)$ và $v(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[a;b]$ thì:

Công thức tích phân từng phần:

\int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx = u(x)v(x)|_{a}^{b} – \int_{a}^{b}v(x)u'(x)dx

Ví dụ: Cho hàm số

y = f(x)

liên tục trên đoạn

[1;2]

và

\int_{1}^{2}(x – 1)f'(x)dx = a

và

\int_{1}^{2}f(x)dx = b.

Tính

f(2)

theo

a

và

b

Đặt

u = x – 1 \Rightarrow du = dx

dv = f'(x)dx \Rightarrow v = f(x)

\Rightarrow \int_{1}^{2}(x – 1)f'(x)dx = (x – 1).f(x)|_{1}^{2} – \int_{1}^{2}f(x)dx = f(2) – \int_{1}^{2}f(x)

\Rightarrow a = f(2) – b \Rightarrow f(2) = a + b

2. Dạng 2: Sử dụng trực tiếp công thức tích phân từng phần.

Dạng toán: $I = \int P(x)f'(x)dx$ . Với dạng này ta đặt $\left\{\begin{matrix}u = P(x)\\dv = f'(x)dx\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} du = P'(x)\\v = f(x) \end{matrix}\right.$

Ví dụ: Cho hàm số

f(x)

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[0;2]

và thoả mãn

f(0) = 2

\int_{0}^{2}(2x – 4)f'(x)dx = 4.

Tính tích phân

I = \int_{1}^{2}f(x)dx

Ta có:

\int_{0}^{2}(2x – 4)f'(x)dx = 4

Đặt

u = 2x – 4 \Rightarrow du = 2dx

dv = f'(x)dx \Rightarrow v = f(x)

Nếu

\int_{0}^{2}(2x – 4)f'(x)dx = (2x – 4).f(x)|_{0}^{2} – 2\int_{0}^{2}f(x)dx = 4.f(0) – 2I = 8 – 2I

.
Theo giả thiết, ta có:

4 = 8 – 2I \Rightarrow I = 2

3. Dạng 3: Tích phân từng phần có liên quan hàm Lôgarit

Dạng toán: $I = \int P(x)\ln (mx + n)dx$ . Với dạng này, ta đặt $\left\{\begin{matrix}u = \ln (mx + n)\\dv = P(x)dx\end{matrix}\right.$

Ví dụ: Cho hàm số

y = f(x)

có đạo hàm trên

\mathbb{R}

đồng thời thoả mãn

f(0) = 1; f(1) = 2

. Tính tích phân

I = \int_{0}^{1}f'(x).\ln (f(x))dx

Đặt:

u = \ln (f(x)) \Rightarrow du = \frac{f'(x)}{f(x)}dx

dv = f'(x)dx \Rightarrow v = f(x)

I = f(x)\ln(f(x))|_{0}^{1} – \int_{0}^{1}f'(x)dx = f(1)\ln f(1) – f(0)\ln f(0) – f(x)|_{0}^{1} = 2\ln 2 – 1

4. Dạng 4: Tích phân từng phần có liên quan đến hàm mũ

Dạng toán:

$\int_{a}^{b}p(x).e^{mx + n}dx$ , đặt $\left\{\begin{matrix}u = e^{mx + n}\\dv = p(x)dx\end{matrix}\right.$

$\int_{a}^{b}p(x).a^{mx + n}dx$ , đặt $\left\{\begin{matrix}u = a^{mx + n}\\dv = p(x)dx\end{matrix}\right.$

Ví dụ 1: Cho hàm số

y = f(x)

có đạo hàm

f'(x)

liên tục trên đoạn

[0;1]

và

f(0) = 2019, f(1) = 0, \int_{0}^{1}e^{x}.f'(x)dx = 1

. Tính

I = \int_{0}^{1}e^{x}f(x)dx

Đặt

u = e^{x} \Rightarrow du = e^{x}dx

dv = f'(x)dx \Rightarrow v = f(x)

Ta được

I = e^{x}f(x)|_{0}^{1} – \int_{0}^{1}e^{x}.f(x)dx = e.f(1) – f(0) – 1 = – 2020

Ví dụ 2: Cho hàm số

y = f(x)

có đạo hàm

f'(x)

liên tục trên đoạn

[0;1]

và

f(0) = 0, f(1) = 2019, \int_{0}^{1}2018^{x}.f'(x)dx = 2018

. Tính

I = \int_{0}^{1}2018^{x}f(x)dx

Đặt

u = 2018^{x} \Rightarrow du = 2018^{x}.\ln 2018dx

dv = f'(x)dx \Rightarrow v = f(x)

Ta được:

2018 = \int_{0}^{1}2018^{x}.f'(x)dx = 2018^{x}f(x)|_{0}^{1} – \ln 2018\int_{0}^{1}2018^{x}.f(x)dx = 2018.f(1) – f(0) – I.\ln 2080 = 2018.2019 – I.\ln 2018 \Rightarrow I = \frac{2018^{2}}{\ln 2018}

5. Dạng 5: Tích phân từng phần có liên quan đến hàm lượng giác

Ví dụ: Cho hàm số

f(x)

có đạo hàm liên tục trên

[0;\frac{\pi}{2}]

thoả mãn

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f'(x)cosxdx = 10

và

f(0) = 3.

Tính tích phân

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)sinxdx

Đặt

u = f(x) \Rightarrow du = f'(x)dx

dv = sinxdx \Rightarrow v = -cosx

Khi đó

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)sinxdx = -cosx.f(x)|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f'(x)cosxdx = f(0) + 10 = 3 + 10 = 13

Trên đây là bài viết Phương pháp tính tích phân hàm ẩn cực hay mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương tích phân để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.