Tính tích phân hàm lượng giác bằng phương pháp từng phần cực hay

Quang Thái Tháng Một 9, 2022

Xin chào các bạn, hôm nay HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn những phương pháp giải từng dạng của tích phân lượng giác đầy bằng phương pháp từng phần hay nhất. Hãy bắt đầu bài học hôm nay cùng HocThatGioi nhé.

1. Một số công thức – đạo hàm lượng giác trong tính tích phân

Dưới đây là các công thức quan trọng khi tính tích phân lượng giác. Các bạn hãy ghi nhớ để có thể biến đổi trong qua trình làm bài nhé.

Công thức lượng giác
$sin2x = 2sinxcosx$	$(sinx)' = cosx$
$cos2x = cos^{2}x - sin^{2}x = 2cos^{2}x - 1 = 1 - 2sin^{2}x$	$(cosx)' = -sinx$
$sin^{2}x = \frac{1 - cos2x}{2}$	$(sin^{2}x)' = sin2x$
$cos^{2}x = \frac{1 + cos2x}{2}$	$(cos^{2}x)' = -sin2x$
$sin^{3}x = \frac{3sinx - sin3x}{4}$	$(tanx') = \frac{1}{cos^{2}x} = 1 + tan^{2}x$
$cos^{3}x = \frac{3cosx + cos3x}{2}$	$(cotx)' = \frac{1}{sin^{2}x} = 1 + cot^{2}x$
$1 + tan^{2}x = \frac{1}{cos^{2}x}$
$1 + cot^{2}x = \frac{1}{sin^{2}x}$

Bảng I: Một số công thức – đạo hàm lường giác

2. Phương pháp tính tích phân lượng giác bằng phương pháp từng phần

Dưới đây là các trường hợp tính tích phân lượng giác cho từng trường hợp bằng phương pháp từng phần

2.1 Dạng 1

Bài toán: Tính tích phân: $\int_{a}^{b}\frac{P_{n}(x)}{cos^{2}(ax + b)}dx$ hoặc $\int_{a}^{b}\frac{P_{n}(x)}{sin^{2}(ax + b)}dx$

Phương pháp: Đặt $\left\{\begin{matrix}u = P(x)\\dv = \frac{1}{cos^{2}(ax + b)}dx\end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}u = P(x)\\dv = \frac{1}{sin^{2}(ax + b)}dx \end{matrix}\right.$

Ví dụ: Tính tích phân sau

\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{x}{cos^{2}x}dx

Đặt

\left\{\begin{matrix}u = x\\dv = \frac{1}{cos^{2}x}dx\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}du = dx\\v = tanx\end{matrix}\right.

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta đươc:

I = xtanx|_{0}^{\frac{\pi}{3}} – \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}tanxdx = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} – \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{sinx}{cosx}dx = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} – \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{d(cosx)}{cosx} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} + \ln |cosx||_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} + \ln\frac{1}{2}

2.2 Dạng 2

Bài toàn: Tính tích phân $I = \int_{a}^{b}sin(\ln x)dx$ hoặc $I = \int_{a}^{b}cos(\ln x)dx$

Phương pháp: Đặt $\left\{\begin{matrix}u = sin(\ln x)\\dv = dx\end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}u = cos(\ln x)\\dv = dx \end{matrix}\right.$

Ví dụ: Tính tích phân sau

I = \int_{1}^{e^{\pi}}cos(\ln x)dx

Đặt

\left\{\begin{matrix}u = cosx(\ln x)\\dv = dx\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}du = -\frac{1}{x}sin(\ln x)\\v = x\end{matrix}\right.

Vậy

I = x.cos(\ln x)|_{1}^{e^{\pi}} + \int_{1}^{e^{\pi}}sin(\ln x)dx = -(e^{\pi} + 1) + J

Tính

J

Đặt

\left\{\begin{matrix}u = sin(\ln x)\\dv = dx\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}du = \frac{1}{x}cos(\ln x)\\v = x\end{matrix}\right.

Vậy

J = x.sin(\ln x)|_{1}^{e^{\pi}} – \int_{1}^{e^{\pi}}cos(\ln x)dx = 0 – I = I

Vậy

2I = -(e^{\pi} + 1) \Rightarrow I = -\frac{e^{\pi} + 1}{2}

2.3 Dạng 3

Bài toán: Tích phân có dạng $I = \int_{a}^{b}P_{n}(x)sin(ax + b)dx$ hoặc $I = \int_{a}^{b}P_{n}(x)cos(ax + b)dx$

Phương pháp: Đặt $\left\{\begin{matrix}u = P_{n}(x)\\dv = sin(ax + b)dx\end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}u = P_{n}(x)\\dv = cos(ax + b)dx \end{matrix}\right.$

Ví dụ: Tính tích phân

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x + 1)sin2xdx

Đặt

\left\{\begin{matrix}u = x + 1\\dv = sin2xdx\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}du = dx\\ v = -\frac{cos2x}{2}\end{matrix}\right.

Khi đó

I = -\frac{cos2x}{2}(x + 1)|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos2xdx = \frac{\pi}{4} + 1

Trên đây là bài viết Tính tích phân hàm lượng giác bằng phương pháp từng phần cực hay mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương tích phân để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt