SGK Toán 7 – Chân Trời Sáng Tạo
Giải SGK bài 3 Tam giác cân trang 59, 60, 61, 62, 63 Toán 7 Chân trời sáng tạo Tập 2
Trong bài này, HocThatGioi sẽ giúp các bạn giải đáp những câu hỏi cũng như bài tập trong bài Tam giác cân. Đây là bài học thuộc bài 3 chương 8 trang 59, 60, 61, 62, 63 sách Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2. Hi vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày bên dưới.
Trả lời câu hỏi trong SGK bài Tam giác cân
Dưới đây là phương pháp và bài giải chi tiết cho câu hỏi mở đầu, hoạt động khám phá, vận dụng cùng phần thực hành ở các trang 59, 60, 61, 62 trong bài Tam giác cân. Cùng HocThatGioi đi tìm đáp án ngay nhé!
Câu hỏi mở đầu trang 59
Em hãy đo rồi so sánh độ dài hai cạnh $AB$ và $AC$ của tam giác $ABC$ có trong hình di tích ga xe lửa Đà Lạt dưới đây.
Phương pháp giải:
Đo và so sánh độ dài các cạnh trong tam giác $ABC$
Đo và so sánh độ dài các cạnh trong tam giác $ABC$
Lời giải chi tiết:
Ta thấy độ dài của 2 cạnh $AB = AC$
Ta thấy độ dài của 2 cạnh $AB = AC$
Hoạt động khám phá 1 trang 59
Gấp đôi một tờ giấy hình chữ nhật $ABCD$ theo đường gấp $MS$. Cắt hình gấp được theo đường chép $AS$ rồi trải phẳng hình cắt được ra ta có tam giác $SAB$ (Hình 1). Em hãy so sánh hai cạnh $SA$ và $SB$ của tam giác này.
Phương pháp giải:
Gập giấy và cắt như hướng dẫn.
Gập giấy và cắt như hướng dẫn.
Lời giải chi tiết:
Ta thấy sau khi cắt 2 cạnh của tam giác bằng nhau.
Ta thấy sau khi cắt 2 cạnh của tam giác bằng nhau.
Thực hành 1 trang 60
Tìm các tam giác cân trong Hình 4. Kể tên các cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của mỗi tam giác cân đó.
Phương pháp giải:
Dựa vào số đo các cạnh của tam giác để tìm tam giác cân
Dựa vào số đo các cạnh của tam giác để tìm tam giác cân
Lời giải chi tiết:
Ta thấy: $\triangle M E F$ cân tại $\mathrm{M}$ do $\mathrm{ME}=\mathrm{MF}$ có:
+ Cạnh bên: $ME, MF$
+ Cạnh đáy: $EF$
+ Góc ở đỉnh: $\widehat{E M F}$
+ Góc ở đáy: $\widehat{M E F}, \widehat{M F E}$
$\triangle M N P$ cân tại $\mathrm{M}$ do $\mathrm{MN}=\mathrm{MP}$ có:
+ Cạnh bên: $MN, MP$
+ Cạnh đáy: $NP$
+ Góc ở đỉnh: $\widehat{N M P}$
+ Góc ở đáy: $\widehat{N P M}, \widehat{P N M}$
$\triangle M H P$ cân tại $\mathrm{M}$ do $\mathrm{MH}=\mathrm{MP}$ có:
+ Cạnh bên : $MH, MP$
+ Cạnh đáy: $HP$
+ Góc ở đỉnh: $\widehat{P M H}$
+ Góc ở đáy: $\widehat{M P H}, \widehat{M H P}$
Ta thấy: $\triangle M E F$ cân tại $\mathrm{M}$ do $\mathrm{ME}=\mathrm{MF}$ có:
+ Cạnh bên: $ME, MF$
+ Cạnh đáy: $EF$
+ Góc ở đỉnh: $\widehat{E M F}$
+ Góc ở đáy: $\widehat{M E F}, \widehat{M F E}$
$\triangle M N P$ cân tại $\mathrm{M}$ do $\mathrm{MN}=\mathrm{MP}$ có:
+ Cạnh bên: $MN, MP$
+ Cạnh đáy: $NP$
+ Góc ở đỉnh: $\widehat{N M P}$
+ Góc ở đáy: $\widehat{N P M}, \widehat{P N M}$
$\triangle M H P$ cân tại $\mathrm{M}$ do $\mathrm{MH}=\mathrm{MP}$ có:
+ Cạnh bên : $MH, MP$
+ Cạnh đáy: $HP$
+ Góc ở đỉnh: $\widehat{P M H}$
+ Góc ở đáy: $\widehat{M P H}, \widehat{M H P}$
Hoạt động khám phá 2 trang 60
Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ cân tại $\mathrm{A}$ (Hình 5). Gọi $\mathrm{M}$ là trung điểm cạnh $\mathrm{BC}$. Nối $\mathrm{A}$ với $\mathrm{M}$. Em hãy làm theo gợi ý sau để chứng minh $\widehat{A B C}=$ $\widehat{A C B}$.
Xét $\triangle A M B$ và $\triangle A M C$ có:
$$\begin{aligned}& \mathrm{AB}=?(?) \\& \mathrm{MB}=\mathrm{MC}(?)\end{aligned}$$
$AM$ là cạnh ?
Vậy $\triangle A M B=\Delta A M C$ (c.c.c)
Suy ra $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}$
Xét $\triangle A M B$ và $\triangle A M C$ có:
$$\begin{aligned}& \mathrm{AB}=?(?) \\& \mathrm{MB}=\mathrm{MC}(?)\end{aligned}$$
$AM$ là cạnh ?
Vậy $\triangle A M B=\Delta A M C$ (c.c.c)
Suy ra $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}$
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa của tam giác cân là tam giác có 2 cạnh bằng nhau
Dựa vào định nghĩa của tam giác cân là tam giác có 2 cạnh bằng nhau
Lời giải chi tiết:
Xét $\triangle A M B$ và $\triangle A M C$.có:
$A B=A C$ ( do tam giác $A B C$ cân tại $A$ )
$\mathrm{MB}=\mathrm{MC}$ ( do $\mathrm{M}$ là trung điểm $\mathrm{BC}$ )
AM là cạnh chung
=\triangle A M B=\Delta A M C \text { (c.c.c) } \\\\ =\widehat{A B C}=\widehat{A C B} (2 góc tương ứng)
Xét $\triangle A M B$ và $\triangle A M C$.có:
$A B=A C$ ( do tam giác $A B C$ cân tại $A$ )
$\mathrm{MB}=\mathrm{MC}$ ( do $\mathrm{M}$ là trung điểm $\mathrm{BC}$ )
AM là cạnh chung
=\triangle A M B=\Delta A M C \text { (c.c.c) } \\\\ =\widehat{A B C}=\widehat{A C B} (2 góc tương ứng)
Thực hành 2 trang 61
Tìm số đo các góc chưa biết của mỗi tam giác trong Hình 7.
Phương pháp giải:
Dựa vào định lí 2 góc đáy của tam giác cân bằng nhau
Dựa vào định lí 2 góc đáy của tam giác cân bằng nhau
Lời giải chi tiết:
a) Vì $\triangle M N P$ cân tại $\mathrm{M}$ ( theo giả thiết )
\Rightarrow \widehat{N}=\widehat{P}=70^{\circ}(2 góc đáy của tam giác cân)
\Rightarrow \widehat{M}=180^{\circ}-2.70^{\circ}=40^{\circ}
b) Xét $\Delta E F H$ cân tại E
Theo định lí về tổng 3 góc trong tam giác ta có
$$\Rightarrow \widehat{E}+\widehat{F}+\widehat{H}=180^{\circ}$$
Mà $\widehat{F}=\widehat{H}$ ( tính chất tam giác cân )
$$\Rightarrow \widehat{F}=\widehat{H}=180^{\circ}-\widehat{E}=\left(180^{\circ}-70^{\circ}\right): 2=55^{\circ}$$
a) Vì $\triangle M N P$ cân tại $\mathrm{M}$ ( theo giả thiết )
\Rightarrow \widehat{N}=\widehat{P}=70^{\circ}(2 góc đáy của tam giác cân)
\Rightarrow \widehat{M}=180^{\circ}-2.70^{\circ}=40^{\circ}
b) Xét $\Delta E F H$ cân tại E
Theo định lí về tổng 3 góc trong tam giác ta có
$$\Rightarrow \widehat{E}+\widehat{F}+\widehat{H}=180^{\circ}$$
Mà $\widehat{F}=\widehat{H}$ ( tính chất tam giác cân )
$$\Rightarrow \widehat{F}=\widehat{H}=180^{\circ}-\widehat{E}=\left(180^{\circ}-70^{\circ}\right): 2=55^{\circ}$$
Vận dụng 1 trang 61
Trong hình mái nhà ở Hình 8, tính góc $\mathrm{B}$ và góc $\mathrm{C}$, biết $\widehat{A}=110^{\circ}$.
Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất 2 góc đáy của tam giác cân bằng nhau
Dựa vào tính chất 2 góc đáy của tam giác cân bằng nhau
Lời giải chi tiết:
Vì tổng số đo 3 góc trong tam giác là $180^{\circ}$
$$ \Rightarrow \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ} $$
\widehat{B}=\widehat{C}=(180^{\circ}-\widehat{A}): 2=(180^{\circ}-110^{\circ}): 2=35^{\circ}
Vì tổng số đo 3 góc trong tam giác là $180^{\circ}$
$$ \Rightarrow \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ} $$
\widehat{B}=\widehat{C}=(180^{\circ}-\widehat{A}): 2=(180^{\circ}-110^{\circ}): 2=35^{\circ}
Hoạt động khám phá 3 trang 61
Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ có $\widehat{A}=\widehat{C}$. Vẽ đường thẳng đi qua điểm $\mathrm{B}$, vuông góc với $\mathrm{AC}$ và cắt $\mathrm{AC}$ tại điểm $\mathrm{H}$ (Hình 9). Em hãy làm theo gợi ý sau để chứng minh $\mathrm{BA}=\mathrm{BC}$.
Xét $\triangle A H B$ và $\triangle C H B$ cùng vuông tại $\mathrm{H}$, ta có:
BH là cạnh góc vuông ?
$\widehat{H A B}=\widehat{H C B}$ suy ra $\widehat{A B H}=\widehat{C B H}$ (?)
Vậy $\Delta A H B=\Delta C H B$. Suy ra $\mathrm{BA}=\mathrm{BC}$
Xét $\triangle A H B$ và $\triangle C H B$ cùng vuông tại $\mathrm{H}$, ta có:
BH là cạnh góc vuông ?
$\widehat{H A B}=\widehat{H C B}$ suy ra $\widehat{A B H}=\widehat{C B H}$ (?)
Vậy $\Delta A H B=\Delta C H B$. Suy ra $\mathrm{BA}=\mathrm{BC}$
Phương pháp giải:
Ta chứng minh $\triangle A H B=\triangle C H B$ rồi từ đó suy ra $\mathrm{BA}=\mathrm{BC}$
Ta chứng minh $\triangle A H B=\triangle C H B$ rồi từ đó suy ra $\mathrm{BA}=\mathrm{BC}$
Lời giải chi tiết:
Xét $\triangle A H B$ và $\triangle C H B$ cùng vuông tại $\mathrm{H}$, ta có:
$BH$ là cạnh góc vuông và $\widehat{A B H}=\widehat{C B H}$ (Do cùng bằng $90^{\circ}-\widehat{H A B}=90^{\circ}-\widehat{H C B}$)
$\Rightarrow \triangle A H B=\triangle C H B \\\\ \Rightarrow \mathrm{BA}=\mathrm{BC}$
Xét $\triangle A H B$ và $\triangle C H B$ cùng vuông tại $\mathrm{H}$, ta có:
$BH$ là cạnh góc vuông và $\widehat{A B H}=\widehat{C B H}$ (Do cùng bằng $90^{\circ}-\widehat{H A B}=90^{\circ}-\widehat{H C B}$)
$\Rightarrow \triangle A H B=\triangle C H B \\\\ \Rightarrow \mathrm{BA}=\mathrm{BC}$
Thực hành 3 trang 62
Tìm các tam giác cân trong Hình 11 và đánh dấu vào các cạnh bằng nhau.
Phương pháp giải:
Ta tìm các tam giác cân từ các góc ở đáy rồi suy ra các cạnh bằng nhau.
Ta tìm các tam giác cân từ các góc ở đáy rồi suy ra các cạnh bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có tam giác $A B C$ cân tại $A$ do 2 góc đáy $B, C$ cùng bằng $68^{\circ}$
Nên $A B=A C$
b) Vì tổng các góc trong tam giác $=180^{\circ}$ nên $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180^{\circ}$
$$\begin{aligned}& \Rightarrow \widehat{P}=180^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ} \\& \Rightarrow \Delta M N P \text { vuông cân tại N } \\& \Rightarrow \mathrm{MN}=\mathrm{NP}\end{aligned}$$
c) Xét $\triangle E F G$ theo định lí về tổng số đo các góc trong tam giác ta có :
$$\begin{aligned}& \Rightarrow \widehat{F}+\widehat{E}+\widehat{G}=180^{\circ} \\& \Rightarrow \widehat{F}=180^{\circ}-35^{\circ}-27^{\circ}=118^{\circ}\end{aligned}$$
$\Rightarrow \Delta E F G$ không cân nên không có các cặp cạnh bằng nhau
a) Ta có tam giác $A B C$ cân tại $A$ do 2 góc đáy $B, C$ cùng bằng $68^{\circ}$
Nên $A B=A C$
b) Vì tổng các góc trong tam giác $=180^{\circ}$ nên $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180^{\circ}$
$$\begin{aligned}& \Rightarrow \widehat{P}=180^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ} \\& \Rightarrow \Delta M N P \text { vuông cân tại N } \\& \Rightarrow \mathrm{MN}=\mathrm{NP}\end{aligned}$$
c) Xét $\triangle E F G$ theo định lí về tổng số đo các góc trong tam giác ta có :
$$\begin{aligned}& \Rightarrow \widehat{F}+\widehat{E}+\widehat{G}=180^{\circ} \\& \Rightarrow \widehat{F}=180^{\circ}-35^{\circ}-27^{\circ}=118^{\circ}\end{aligned}$$
$\Rightarrow \Delta E F G$ không cân nên không có các cặp cạnh bằng nhau
Vận dụng 2 trang 62
Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ cân tại $\mathrm{A}$ có góc $\mathrm{B}$ bằng $60^{\circ}$. Chứng minh rằng tam giác $\mathrm{ABC}$ đều.
Phương pháp giải:
Ta chứng minh 3 góc của tam giác đều bằng $60^{\circ}$
Ta chứng minh 3 góc của tam giác đều bằng $60^{\circ}$
Lời giải chi tiết:
Ta có: tam giác $A B C$ cân tại $A$
Nên $\widehat{B}=\widehat{C}=60^{\circ}$ ( 2 góc đáy của tam giác cân )
Theo định lí về tổng 3 góc trong tam giác ta có : $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{A}=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$
Vì $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^{\circ} \Rightarrow$ tam giác $\mathrm{ABC}$ là tam giác đều
Ta có: tam giác $A B C$ cân tại $A$
Nên $\widehat{B}=\widehat{C}=60^{\circ}$ ( 2 góc đáy của tam giác cân )
Theo định lí về tổng 3 góc trong tam giác ta có : $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{A}=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$
Vì $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^{\circ} \Rightarrow$ tam giác $\mathrm{ABC}$ là tam giác đều
Giải bài tập SGK bài Tam giác cân
Phần tiếp theo sẽ cung cấp cho các bạn phương pháp cùng lời giải trong phần bài tập trang 62, 63 cực kỳ dễ hiểu và chi tiết. Cùng HocThatGioi rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tế thông qua các phương pháp, công thức toán học từ bài Tam giác cân ở trên.
Bài 1 trang 62
Tìm các tam giác cân và tam giác đều trong mỗi hình sau (Hình 13). Giải thích.
Phương pháp giải:
Dựa vào các cạnh bên và số đo các góc ở đáy mỗi tam giác
Dựa vào các cạnh bên và số đo các góc ở đáy mỗi tam giác
Lời giải chi tiết:
a) Tam giác $\mathrm{ABM}$ là tam giác đều do có 3 cạnh bằng nhau
Tam giác $AMC$ cân tại $M$ do $A M=M C$
b) Tam giác $EDG$ là tam giác đều do có 3 cạnh bằng nhau
Tam giác $EHF$ cân tại $\mathrm{E}$ do $\mathrm{EH}=\mathrm{EF}$
Tam giác $\mathrm{EDH}$ cân tại $\mathrm{D}$ do $\mathrm{DH}=\mathrm{DE}$
c) Tam giác $E G F$ cân tại $\mathrm{G}$ do $\mathrm{GE}=\mathrm{GF}$
Tam giác $IHG$ đều do là tam giác cân có 1 góc $=60^{\circ}$
Tam giác $E H G$ cân tại $E$ do $E G=E H$
d) Tam giác $MBC$ không cân và không đều vì 3 góc có số đo khác nhau.
a) Tam giác $\mathrm{ABM}$ là tam giác đều do có 3 cạnh bằng nhau
Tam giác $AMC$ cân tại $M$ do $A M=M C$
b) Tam giác $EDG$ là tam giác đều do có 3 cạnh bằng nhau
Tam giác $EHF$ cân tại $\mathrm{E}$ do $\mathrm{EH}=\mathrm{EF}$
Tam giác $\mathrm{EDH}$ cân tại $\mathrm{D}$ do $\mathrm{DH}=\mathrm{DE}$
c) Tam giác $E G F$ cân tại $\mathrm{G}$ do $\mathrm{GE}=\mathrm{GF}$
Tam giác $IHG$ đều do là tam giác cân có 1 góc $=60^{\circ}$
Tam giác $E H G$ cân tại $E$ do $E G=E H$
d) Tam giác $MBC$ không cân và không đều vì 3 góc có số đo khác nhau.
Bài 2 trang 62
Cho Hình 14 , biết $\mathrm{ED}=\mathrm{EF}$ và $\mathrm{EI}$ là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{DEF}}$. Chứng minh rằng:
a) $\triangle \mathrm{EID}=\Delta \mathrm{EIF}$;
b) Tam giác DIF cân.
a) $\triangle \mathrm{EID}=\Delta \mathrm{EIF}$;
b) Tam giác DIF cân.
Phương pháp giải:
– Ta sử dụng tính chất $c-g-c$ để chứng minh câu a
– Từ câu a ta suy ra $ID = FI$ và chứng minh được tam giác $DIF$ cân
– Ta sử dụng tính chất $c-g-c$ để chứng minh câu a
– Từ câu a ta suy ra $ID = FI$ và chứng minh được tam giác $DIF$ cân
Lời giải chi tiết:
a) Xét tam giác $EID$ và tam giác $EIF$ có :
$IE$ chung
$$\mathrm{ED}=\mathrm{EF}$$
$\widehat{I E D}=\widehat{I E F}$ ( $EI$ là tia phân giác của $\widehat{D E F}$ )
$$\Rightarrow \Delta E I D=\Delta E I F(c-g-c)$$
b) Vì $\Delta E I D=\Delta E I F$ nên $I D=I F$ ( 2 cạnh tương ứng )
Do đó tam giác $DIF$ cân tại $I$ (theo định nghĩa tam giác cân)
a) Xét tam giác $EID$ và tam giác $EIF$ có :
$IE$ chung
$$\mathrm{ED}=\mathrm{EF}$$
$\widehat{I E D}=\widehat{I E F}$ ( $EI$ là tia phân giác của $\widehat{D E F}$ )
$$\Rightarrow \Delta E I D=\Delta E I F(c-g-c)$$
b) Vì $\Delta E I D=\Delta E I F$ nên $I D=I F$ ( 2 cạnh tương ứng )
Do đó tam giác $DIF$ cân tại $I$ (theo định nghĩa tam giác cân)
Bài 3 trang 63
Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ cân tại $\mathrm{A}$ có $\widehat{\mathrm{A}}=56^{\circ}$ (Hình 15 ).
a) Tính $\widehat{\mathrm{B}}, \widehat{\mathrm{C}}$.
b) Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ lần lượt là trung điểm của $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$.
Chứng minh rằng tam giác $\mathrm{AMN}$ cân.
c) Chứng minh rằng $\mathrm{MN} / / \mathrm{BC}$.
a) Tính $\widehat{\mathrm{B}}, \widehat{\mathrm{C}}$.
b) Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ lần lượt là trung điểm của $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$.
Chứng minh rằng tam giác $\mathrm{AMN}$ cân.
c) Chứng minh rằng $\mathrm{MN} / / \mathrm{BC}$.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác và tính chất 2 góc đáy tam giác cân
b) Chứng minh $\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$
c) Sử dụng tính chất góc đồng vị
a) Sử dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác và tính chất 2 góc đáy tam giác cân
b) Chứng minh $\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$
c) Sử dụng tính chất góc đồng vị
Lời giải chi tiết:
a) Theo đề bài ta có tam giác $\mathrm{ABC}$ cân ở $\mathrm{A}$ và $\widehat{A}=56^{\circ}$
Mà \Rightarrow \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ} \\\\ \Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=(180^{\circ}-56^{\circ}): 2=62^{\circ}
b) Vì tam giác $A B C$ cân tại $A$ nên $A B=A C$ ( định nghĩa tam giác cân )
Mà $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ là trung điểm của $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$
Nên $AM = AN$
Xét tam giác AMN có $\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$ nên AMN là tam giác cân tại $\mathrm{A}$
$$\Rightarrow \widehat{M}=\widehat{N}=\left(180^{\circ}-56^{\circ}\right): 2=62^{\circ}$$
c) Vì $\widehat{A M N}=\widehat{A B C}$ (cùng bằng $62^{\circ}$ )
Mà chúng ở vị trí đồng vị nên $\mathrm{MN} / / \mathrm{BC}$
a) Theo đề bài ta có tam giác $\mathrm{ABC}$ cân ở $\mathrm{A}$ và $\widehat{A}=56^{\circ}$
Mà \Rightarrow \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ} \\\\ \Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=(180^{\circ}-56^{\circ}): 2=62^{\circ}
b) Vì tam giác $A B C$ cân tại $A$ nên $A B=A C$ ( định nghĩa tam giác cân )
Mà $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ là trung điểm của $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$
Nên $AM = AN$
Xét tam giác AMN có $\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$ nên AMN là tam giác cân tại $\mathrm{A}$
$$\Rightarrow \widehat{M}=\widehat{N}=\left(180^{\circ}-56^{\circ}\right): 2=62^{\circ}$$
c) Vì $\widehat{A M N}=\widehat{A B C}$ (cùng bằng $62^{\circ}$ )
Mà chúng ở vị trí đồng vị nên $\mathrm{MN} / / \mathrm{BC}$
Bài 4 trang 63
Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ cân tại $\mathrm{A}$ (Hình 16). Tia phân giác của góc $\mathrm{B}$ cắt $\mathrm{AC}$ tại $\mathrm{F}$, tia phân giác của góc $\mathrm{C}$ cắt $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{E}$.
a) Chứng minh rằng $\widehat{\mathrm{ABF}}=\widehat{\mathrm{ACE}}$.
b) Chứng minh rằng tam giác $\mathrm{AEF}$ cân.
c) Gọi $I$ là giao điểm của $\mathrm{BF}$ và $\mathrm{CE}$. Chứng minh rằng tam giác $IBC$ và tam giác $IEF$ là những tam giác cân.
a) Chứng minh rằng $\widehat{\mathrm{ABF}}=\widehat{\mathrm{ACE}}$.
b) Chứng minh rằng tam giác $\mathrm{AEF}$ cân.
c) Gọi $I$ là giao điểm của $\mathrm{BF}$ và $\mathrm{CE}$. Chứng minh rằng tam giác $IBC$ và tam giác $IEF$ là những tam giác cân.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng tính chất của tam giác cân và tia phân giác
b) Từ câu a suy ra $AE = AF$
c) Tam giác $IEF$ chứng minh cân bằng cách chứng minh 2 cạnh bên bằng nhau
Chứng minh $IBC$ cân vì 2 góc đáy bằng nhau
a) Sử dụng tính chất của tam giác cân và tia phân giác
b) Từ câu a suy ra $AE = AF$
c) Tam giác $IEF$ chứng minh cân bằng cách chứng minh 2 cạnh bên bằng nhau
Chứng minh $IBC$ cân vì 2 góc đáy bằng nhau
Lời giải chi tiết:
a) Vì tam giác ABC cân tại $\mathrm{A}$
$$\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C} \Rightarrow \frac{1}{2} \widehat{B}=\frac{1}{2} \widehat{C} \Rightarrow \widehat{A B F}=\widehat{A C E}$$
b) Xét $\triangle E C A$ và $\triangle F B A$ có:
$\widehat{A}$ chung
$A B=A C$
$\widehat{A B F}=\widehat{A C E}$
$\Rightarrow \triangle E C A=\Delta F B A(\mathrm{~g}-\mathrm{c}-\mathrm{g})$
$\Rightarrow A E=A F v$ à $E C=B F$ (2 cạnh tương ứng)
$\Rightarrow \triangle A E F$ cân tại $\mathrm{A}$
c) Xét tam giác IBC có :
$$\widehat{B}=\widehat{C} \Rightarrow \frac{1}{2} \widehat{B}=\frac{1}{2} \widehat{C} \Rightarrow \widehat{I C B}=\widehat{I B C}$$
Do đó, tam giác IBC cân tại I ( 2 góc ở đáy bằng nhau )
$\Rightarrow I B=I C$ ( cạnh tương ứng )
Vì $E C=B F($ Câu b) và $I B=I C$
$\Rightarrow \mathrm{EC}-\mathrm{IC}=\mathrm{BF}-\mathrm{BI}$
$\Rightarrow \mathrm{El}=\mathrm{FI}$
$\Rightarrow \Delta I E F$ cân tại $I$
a) Vì tam giác ABC cân tại $\mathrm{A}$
$$\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C} \Rightarrow \frac{1}{2} \widehat{B}=\frac{1}{2} \widehat{C} \Rightarrow \widehat{A B F}=\widehat{A C E}$$
b) Xét $\triangle E C A$ và $\triangle F B A$ có:
$\widehat{A}$ chung
$A B=A C$
$\widehat{A B F}=\widehat{A C E}$
$\Rightarrow \triangle E C A=\Delta F B A(\mathrm{~g}-\mathrm{c}-\mathrm{g})$
$\Rightarrow A E=A F v$ à $E C=B F$ (2 cạnh tương ứng)
$\Rightarrow \triangle A E F$ cân tại $\mathrm{A}$
c) Xét tam giác IBC có :
$$\widehat{B}=\widehat{C} \Rightarrow \frac{1}{2} \widehat{B}=\frac{1}{2} \widehat{C} \Rightarrow \widehat{I C B}=\widehat{I B C}$$
Do đó, tam giác IBC cân tại I ( 2 góc ở đáy bằng nhau )
$\Rightarrow I B=I C$ ( cạnh tương ứng )
Vì $E C=B F($ Câu b) và $I B=I C$
$\Rightarrow \mathrm{EC}-\mathrm{IC}=\mathrm{BF}-\mathrm{BI}$
$\Rightarrow \mathrm{El}=\mathrm{FI}$
$\Rightarrow \Delta I E F$ cân tại $I$
Bài 5 trang 63
Phần thân của một móc treo quần áo có dạng hình tam giác cân (Hình 17a) được vẽ lại như Hình $17 \mathrm{~b}$. Cho biết $\mathrm{AB}=20 \mathrm{~cm}$; $\mathrm{BC}=28 \mathrm{~cm}$ và $\widehat{\mathrm{B}}=35^{\circ}$. Tìm số đo các góc còn lại và chu vi của tam giác $\mathrm{ABC}$.
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất tam giác cân để tìm các góc, cạnh còn lại
Áp dụng tính chất tam giác cân để tìm các góc, cạnh còn lại
Lời giải chi tiết:
Vì tam giác $\mathrm{ABC}$ cân tại $\mathrm{A}$
$\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=20 \mathrm{~cm}$
$\Rightarrow$ Chu vi tam giác $A B C=A B+A C+B C=20+20+28=68 \mathrm{~cm}$
Vì $\triangle A B C$ cân tại $\mathrm{A} \Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=35^{\circ}$
Mà tổng 3 góc trong một tam giác là $180^{\circ}$
$$\Rightarrow \widehat{A}=180^{\circ}-\widehat{B}-\widehat{C}=180^{\circ}-35^{\circ}-35^{\circ}=110^{\circ}$$
Vì tam giác $\mathrm{ABC}$ cân tại $\mathrm{A}$
$\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=20 \mathrm{~cm}$
$\Rightarrow$ Chu vi tam giác $A B C=A B+A C+B C=20+20+28=68 \mathrm{~cm}$
Vì $\triangle A B C$ cân tại $\mathrm{A} \Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=35^{\circ}$
Mà tổng 3 góc trong một tam giác là $180^{\circ}$
$$\Rightarrow \widehat{A}=180^{\circ}-\widehat{B}-\widehat{C}=180^{\circ}-35^{\circ}-35^{\circ}=110^{\circ}$$
Bài 6 trang 63
Một khung cửa sổ hình tam giác có thiết kế như Hình $18 \mathrm{a}$ được vẽ lại như Hình $18 \mathrm{~b}$.
a) Cho biết $\widehat{\mathrm{A}}_1=42^{\circ}$. Tính số đo của $\widehat{\mathrm{M}}_1, \widehat{\mathrm{B}}_1, \widehat{\mathrm{M}}_2$
b) Chứng minh $\mathrm{MN} / / \mathrm{BC}, \mathrm{MP} / / \mathrm{AC}$.
c) Chứng minh bốn tam giác cân $\mathrm{AMN}$, MBP, PMN, NPC bằng nhau.
a) Cho biết $\widehat{\mathrm{A}}_1=42^{\circ}$. Tính số đo của $\widehat{\mathrm{M}}_1, \widehat{\mathrm{B}}_1, \widehat{\mathrm{M}}_2$
b) Chứng minh $\mathrm{MN} / / \mathrm{BC}, \mathrm{MP} / / \mathrm{AC}$.
c) Chứng minh bốn tam giác cân $\mathrm{AMN}$, MBP, PMN, NPC bằng nhau.
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất của tam giác cân.
Sử dụng các tính chất của tam giác cân.
Lời giải chi tiết:
a) Ta thấy tam giác $\mathrm{AMN}$ cân tại $\mathrm{A}$ do $\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$
$$\Rightarrow \widehat{M_1}=\left(180^{\circ}-\widehat{A_1}\right): 2=\left(180^{\circ}-42^{\circ}\right): 2=69^{\circ}$$
Ta thấy tam giác PMN = tam giác AMN ( c-c-c)
$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{P M N}=69^{\circ}$ (Góc tương ứng)
Mà $\Rightarrow \widehat{M_1}+\widehat{M_2}+\widehat{P M N}=180^{\circ}$ (Các góc kề bù)
$\Rightarrow \widehat{M_2}=180^{\circ}-69^{\circ}-69^{\circ}=42^{\circ}$
Mà tam giác MPB cân tại $\mathrm{M}$ do $\mathrm{MB}=\mathrm{MP}$ nên
$$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{M P B}$$
Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác
$$\Rightarrow \widehat{B_1}=\left(180^{\circ}-42^o\right): 2=69^{\circ}$$
b) Ta thấy $\widehat{B_1}$ và $\widehat{M_1}$ ở vị trí đồng vị và bằng nhau nên
$$\Rightarrow \mathrm{MN} / / \mathrm{BC}$$
Vì tam giác $P M N$ = tam giác AMN nên ta có
$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{A N M}=\widehat{P M N}=\widehat{M N P}($ do 2 tam giác cân và bằng nhau $)$
Mà $\widehat{M N A}$ và $\widehat{P M N}$ ở vị trí so le trong
$$\Rightarrow \mathrm{MP} / / \mathrm{AC}$$
c) Ta có $\Delta A M N=\Delta P M N=\Delta M B P(c-g-c)(1)$
$\mathrm{VIMP} / / \mathrm{AC}$ ( chứng minh trên )
$\Rightarrow \widehat{M P N}=\widehat{P N C}$ (2 góc so le trong)$=42^o$
$\Rightarrow \Delta M P N=\Delta N C P(c-g-c)(2)$
Từ (1) và ( 2$) \Rightarrow 4$ tam giác cân $\mathrm{AMN}, \mathrm{MBP}, \mathrm{PMN}, \mathrm{NCP}$ bằng nhau
a) Ta thấy tam giác $\mathrm{AMN}$ cân tại $\mathrm{A}$ do $\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$
$$\Rightarrow \widehat{M_1}=\left(180^{\circ}-\widehat{A_1}\right): 2=\left(180^{\circ}-42^{\circ}\right): 2=69^{\circ}$$
Ta thấy tam giác PMN = tam giác AMN ( c-c-c)
$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{P M N}=69^{\circ}$ (Góc tương ứng)
Mà $\Rightarrow \widehat{M_1}+\widehat{M_2}+\widehat{P M N}=180^{\circ}$ (Các góc kề bù)
$\Rightarrow \widehat{M_2}=180^{\circ}-69^{\circ}-69^{\circ}=42^{\circ}$
Mà tam giác MPB cân tại $\mathrm{M}$ do $\mathrm{MB}=\mathrm{MP}$ nên
$$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{M P B}$$
Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác
$$\Rightarrow \widehat{B_1}=\left(180^{\circ}-42^o\right): 2=69^{\circ}$$
b) Ta thấy $\widehat{B_1}$ và $\widehat{M_1}$ ở vị trí đồng vị và bằng nhau nên
$$\Rightarrow \mathrm{MN} / / \mathrm{BC}$$
Vì tam giác $P M N$ = tam giác AMN nên ta có
$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{A N M}=\widehat{P M N}=\widehat{M N P}($ do 2 tam giác cân và bằng nhau $)$
Mà $\widehat{M N A}$ và $\widehat{P M N}$ ở vị trí so le trong
$$\Rightarrow \mathrm{MP} / / \mathrm{AC}$$
c) Ta có $\Delta A M N=\Delta P M N=\Delta M B P(c-g-c)(1)$
$\mathrm{VIMP} / / \mathrm{AC}$ ( chứng minh trên )
$\Rightarrow \widehat{M P N}=\widehat{P N C}$ (2 góc so le trong)$=42^o$
$\Rightarrow \Delta M P N=\Delta N C P(c-g-c)(2)$
Từ (1) và ( 2$) \Rightarrow 4$ tam giác cân $\mathrm{AMN}, \mathrm{MBP}, \mathrm{PMN}, \mathrm{NCP}$ bằng nhau
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Giải SGK bài Tam giác cân Chương Tam giác Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2 ở các trang 59, 60, 61, 62, 63. Hi vọng các bạn sẽ có một buổi thú vị và học được nhiều điều bổ ích. Chúc các bạn học tốt!
