Giải SGK Bài 13 Chương 7 trang 116, 117, 118 Toán 7 Cánh diều tập 2

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên các đường thẳng BC, CA, AB (Hình 132).

Em có nhận xét gì về ba đường thẳng AM, BN, CP?

Lời giải chi tiết:
Ba đường thẳng AM, BN, CP lần lượt vuông góc với ba cạnh BC, AC, AB của tam giác và chúng giao nhau tại một điểm.

Cho tam giác $A B C$ (Hình 133). Bằng cách sử dụng ê ke, vẽ hình chiếu $M$ của điểm $A$ trên đường thẳng $B C$.

Quan sát ba đường cao $A M, B N, C P$ của tam giác $A B C$ (Hình 137), cho biết ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm hay không.

Lời giải chi tiết:
Ba đường cao AM, BN, CP có cùng đi qua một điểm là điểm H.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy đọc tên đường cao đi qua B, đường cao đi qua C.

Lời giải chi tiết:
Đường cao đi qua B là AB.
Đường cao đi qua C là AC.

Cho tam giác đều ABC có trọng tâm là G. Chứng minh G cũng là trực tâm của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:
Tam giác ABC đều nên AB = AC = BC.

Suy ra: $A F=B F=A E=C E=B D=C D$.
Xét tam giác $A D B$ và tam giác $A D C$ có:
$A B=A C$ (tam giác $A B C$ đều);
$A D$ chung
$B D=C D(D$ là trung điểm của đoạn thẳng $B C$ ).
Vậy $\triangle A D B=\triangle A D C$ (c.c.c) nên $\widehat{A D B}=\widehat{A D C}$ ( 2 góc tương ứng).
Mà ba điểm $B, D, C$ thẳng hàng nên $\widehat{A D B}=\widehat{A D C}=90^{\circ}$ hay $A D \perp B C$. (1)
Tương tự ta có:
$\widehat{A E B}=\widehat{C E B}=90^{\circ}$ hay $B E \perp A C \text {. (2) }$
$\widehat{A F C}=\widehat{B F C}=90^{\circ}$hay $C F \perp A B . \text { (3) }$
Từ (1), (2), (3) suy ra $G$ là giao điểm của ba đường cao $A D, B E, C F$.
Vậy $G$ cũng là trực tâm của tam giác $A B C$.

Cho tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác. Chứng minh tam giác ABC đều.

Lời giải chi tiết:

Giả sử tam giác $A B C$ có $H$ vừa là trực tâm, vừa là trọng tâm tam giác $A B C$. Ta phải chứng minh tam giác $A B C$ đều. Vì H là trọng tâm tam giác $A B C$ nên $A D, B E, C F$ vừa là các đường cao, vừa là các đường trung tuyến trong tam giác. Suy ra: $A F=B F=A E=C E=B D=C D$;
$A D \perp B C ; B E \perp A C ; C F \perp A B$
Xét tam giác $A D B$ và tam giác $A D C$ có:
$A D$ chung
$$\widehat{A D B}=\widehat{A D C}\left(=90^0\right)$$
$B D=C D(D$ là trung điểm của đoạn thẳng $B C)$.
Vậy $\Delta A D B=\Delta A D C$ (c.g.c) nên $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ ( 2 cạnh tương ứng).
Tương tự, ta cũng được, $A C=B C$
Xét tam giác $A B C$ có $A B=A C=B C$ nên là tam giác đều.
Vậy tam giác $A B C$ có trực tâm $H$ cũng là trọng tâm của tam giác thì tam giác $A B C$ đều.

Cho tam giác $A B C$ có $H$ là trực tâm, $H$ không trùng với đỉnh nào của tam giác. Nêu một tính chất của cặp đường thẳng:
a) $A H$ và $B C$;
b) $B H$ và $C A$;
c) $C H$ và $A B$.

Lời giải chi tiết:
Tam giác ABC có H là trực tâm nên:
a) $AH \perp BC$
b) $BH \perp AC$
c) $CH \perp AC$

Cho tam giác $A B C$. Vẽ trực tâm $H$ của tam giác $A B C$ và nhận xét vị trí của nó trong các trường hợp sau:
a) Tam giác $A B C$ nhọn;
b) Tam giác $A B C$ vuông tại $A$;
c) Tam giác $A B C$ có góc $A$ tù.

Lời giải chi tiết:
a)
Ta thấy H nằm trong tam giác ABC.
b)
Ta thấy trong tam giác ABC: $AB \perp AC, AC \perp AB$.
Do đó AB và AC là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà AB cắt AC tại A nên A là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó A trùng H.
c)
Ta thấy H nằm ngoài tam giác ABC.

Cho tam giác nhọn ABC và điểm D nằm trong tam giác. Chứng minh rằng nếu DA vuông góc với BC và DB vuông góc CA thì DC vuông góc với AB.

Lời giải chi tiết:
Xét tam giác ABC có: D nằm trong tam giác và $DA \perp BC; DB \perp CA$
Suy ra: D là giao điểm của hai đường cao của tam giác ABC hay D là trực tâm của tam giác ABC.
Vậy $DC \perp AB$

Cho tam giác nhọn $A B C$. Hai đường cao $B E$ và $C F$ cắt nhau tại $H, \widehat{H C A}=25^{\circ}$.
Tính $\widehat{B A C}$ và $\widehat{H B A}$.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác $A F C$ có: $\widehat{H C A}=25^{\circ} ; \widehat{A F C}=90^{\circ}$ (vì $C F$ vuông góc với $A B$ ).
Nên: $\widehat{F A C}=\widehat{B A C}=90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}$.
Xét tam giác $A E B$ có: $\widehat{B A C}=65^{\circ} ; \widehat{A E B}=90^{\circ}$ (vì $B E$ vuông góc với $A C$ ).
Nên: $\widehat{A B E}=\widehat{H B A}=90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$.

Trong Hình 139 , cho biết $A B / / C D, A D / / B C ; H, K$ lần lượt là trực tâm các tam giác $A B C$ và $A C D$. Chứng minh $A K / / C H$ và $A H / / C K$.

Lời giải chi tiết:
Vì $A D / / B C$, mà $K \in A D, H \in B C$ nên $A K / / C H$
Vì $C K \perp A D ; B C / / A D$ nên $C K \perp B C$
Mà $A H \perp B C$
$\Rightarrow A H / / C K$

Cho tam giác $A B C$ có $G$ là trọng tâm, $H$ là trực tâm, $I$ là giao điểm của ba đường phân giác, $O$ là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:
a) Nếu tam giác $A B C$ đều thì bốn điểm $G, H, I, O$ trùng nhau;
b) Nếu tam giác $A B C$ có hai điểm trong bốn điểm $G, H, I, O$ trùng nhau thì tam giác $A B C$ là tam giác đều.

Lời giải chi tiết:
a)
Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B C, C A, A B$.
Do tam giác $\mathrm{ABC}$ đều nên $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$ và $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}=\widehat{B A C}$.
Do $M$ là trung điểm của $B C$ nên $B M=C M$.
Xét $\triangle \mathrm{AMB}$ và $\triangle \mathrm{AMC}$ có:
$A B=A C$ (chứng minh trên).
$\widehat{A B M}=\widehat{A C M}$ (chứng minh trên).
$\mathrm{BM}=\mathrm{CM}$ (chứng minh trên).
Do đó $\triangle A M B=\triangle A M C(c-g-c)$.
Suy ra $\widehat{A M B}=\widehat{A M C}$ (2 góc tương ứng) và $\widehat{M A B}=\widehat{M A C}$ (2 góc tương ứng).
Do $\widehat{A M B}=\widehat{A M C}$, mà $\widehat{A M B}+\widehat{A M C}=180^{\circ}$ nên $\widehat{A M B}=\widehat{A M C}=90^{\circ}$.
Khi đó $\mathrm{AM}$ vuông góc với $\mathrm{BC}$ tại trung điểm $\mathrm{M}$ của $\mathrm{BC}$ nên $\mathrm{AM}$ là đường trung trực của đoạn thẳng $\mathrm{BC}$.
Lại có $\widehat{M A B}=\widehat{M A C}$ nên AM là đường phân giác của $\widehat{B A C}$.
Thực hiện tương tự ta chứng minh được BN là đường trung trực của đoạn thẳng $\mathrm{CA}$ và $\mathrm{BN}$ là đường phân giác của $\widehat{A B C}$.
$\mathrm{CP}$ là đường trung trực của đoạn thẳng $\mathrm{AB}$ và $\mathrm{CP}$ là đường phân giác của $\widehat{A C B}$.
Mà AM, BN, CP cắt nhau tại G nên $\mathrm{G}, \mathrm{H}, \mathrm{I}, \mathrm{O}$ trùng nhau.

b)
Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $\mathrm{H}$ đến $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$.
Khi đó $\mathrm{HN} \perp \mathrm{AC}$.
Mà $\mathrm{H}$ là trực tâm của $\triangle \mathrm{ABC}$ nên $\mathrm{BH} \perp \mathrm{AC}$.
$\mathrm{HN} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{BH} \perp \mathrm{AC}$ nên $\mathrm{B}, \mathrm{H}, \mathrm{N}$ thẳng hàng.
Xét $\triangle \mathrm{APH}$ vuông tại $P$ và $\triangle \mathrm{CMH}$ vuông tại $M$ có:
$\widehat{A H P}=\widehat{C H M}$ (2 góc đối đỉnh).
$\mathrm{HP}=\mathrm{HM}$ (theo giả thiết).
Do đó $\triangle \mathrm{APH}=\Delta \mathrm{CMH}$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).
Suy ra HA = HC (2 cạnh tương ứng).
Xét $\triangle$ HNA vuông tại $\mathrm{N}$ và $\triangle$ HNC vuông tại $\mathrm{N}$ có:
$\mathrm{HN}$ chung.
$H A=H C$ (chứng minh trên).
Do đó $\triangle \mathrm{HNA}=\Delta \mathrm{HNC}(2$ cạnh góc vuông).
Suy ra $\mathrm{AN}=\mathrm{CN}$ ( 2 cạnh tương ứng).
Khi đó $\mathrm{N}$ là trung điểm của $A C$.
$\mathrm{HN} \perp \mathrm{AC}$ tại trung điểm $\mathrm{N}$ của $\mathrm{AC}$ nên $\mathrm{HN}$ là đường trung trực của đoạn thẳng $\mathrm{AC}$.
Mà $B, H, N$ thằng hàng nên $B$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $A C$.
Do đó $BA = BC$.
Thực hiện tương tự, ta chứng minh được $CA = CB$.
Do đó $AB = BC = CA.$
Vậy tam giác $ABC$ đều.