SGK Toán 7 - Cánh Diều
Giải SGK Bài 11 Chương 7 trang 108, 109, 110, 111 Toán 7 Cánh diều tập 2
Trong bài này, HocThatGioi sẽ giúp các bạn giải đáp những câu hỏi cũng như bài tập trong bài Tính chất ba đường phân giác của tam giác. Đây là bài học thuộc bài 11 chương VII SGK Toán 7 Cánh Diều trang 108, 109, 110, 111. Hi vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày bên dưới.
Trả lời câu hỏi SGK bài 11 chương 7 Toán 7 Cánh diều tập 2
Các hoạt động khám phá, thực hành, vận dụng luyện tập ở các trang 108, 109, 110, 111 này sẽ giúp các bạn đi vào bài học tìm hiểu các kiến thức về Tính chất ba đường phân giác của tam giác một cách trơn tru và dễ hiểu hơn rất nhiều đấy! Cùng xem lời giải của HocThatGioi nhé!
Câu hỏi khởi động trang 108
Bạn Ngân gấp một miếng bìa hình tam giác để các nếp gấp tạo thành ba tia phân giác của các góc ở đỉnh của tam giác đó (Hình 109).
Ba nếp gấp đó có đặc điểm gì?
Ba nếp gấp đó có đặc điểm gì?
Phương pháp giải:
Quan sát Hình 109 để đưa ra đặc điểm của ba nếp gấp.
Quan sát Hình 109 để đưa ra đặc điểm của ba nếp gấp.
Lời giải chi tiết:
Ba nếp gấp chia ba góc tại ba đỉnh của tam giác thành hai góc bằng nhau tương ứng với mỗi đỉnh. Và chúng cắt nhau tại một điểm.
Ba nếp gấp chia ba góc tại ba đỉnh của tam giác thành hai góc bằng nhau tương ứng với mỗi đỉnh. Và chúng cắt nhau tại một điểm.
Hoạt động 1 trang 108
Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D (Hình 110). Các đầu mút của đoạn thẳng AD có đặc điểm gì?
Phương pháp giải:
Quan sát Hình 110 để đưa ra đặc điểm của hai đầu mút đoạn thẳng AD.
Quan sát Hình 110 để đưa ra đặc điểm của hai đầu mút đoạn thẳng AD.
Lời giải chi tiết:
Các đầu mút của đoạn thẳng AD có đặc điểm: đầu mút A là đỉnh của tam giác, đầu mút D thuộc cạnh BC.
Các đầu mút của đoạn thẳng AD có đặc điểm: đầu mút A là đỉnh của tam giác, đầu mút D thuộc cạnh BC.
Hoạt động 2 trang 109
Quan sát các đường phân giác AD, BE, CK của tam giác ABC (Hình 114), cho biết ba đường phân giác đó có cùng đi qua một điểm hay không.
Phương pháp giải:
Quan sát Hình 114 để xem các đường phân giác AD, BE, CK có cùng đi qua một điểm hay không.
Quan sát Hình 114 để xem các đường phân giác AD, BE, CK có cùng đi qua một điểm hay không.
Lời giải chi tiết:
Các đường phân giác AD, BE, CK có cùng đi qua một điểm là điểm I.
Các đường phân giác AD, BE, CK có cùng đi qua một điểm là điểm I.
Luyện tập vận dụng 1 trang 109
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung tuyến của tam giác đó.
Phương pháp giải:
Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Xét hai tam giác $ABD$và $ACD$:
$A B=A C$ (tam giác $A B C$ cân tại $A$ );
$\widehat{B A D}=\widehat{C A D}(A D$ là phân giác của góc $A)$;
$A D$ chung.
Vậy $\Delta A B D=\Delta A C D$ (c.g.c).
Suy ra: $B D=C D$ ( 2 cạnh tương ứng) hay $D$ là trung điểm của cạnh $B C$. Vậy $A D$ là đường trung tuyến của tam giác $A B C$.
Xét hai tam giác $ABD$và $ACD$:
$A B=A C$ (tam giác $A B C$ cân tại $A$ );
$\widehat{B A D}=\widehat{C A D}(A D$ là phân giác của góc $A)$;
$A D$ chung.
Vậy $\Delta A B D=\Delta A C D$ (c.g.c).
Suy ra: $B D=C D$ ( 2 cạnh tương ứng) hay $D$ là trung điểm của cạnh $B C$. Vậy $A D$ là đường trung tuyến của tam giác $A B C$.
Luyện tập vận dụng 2 trang 110
Tìm số đo x trong Hình 115.
Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất của ba đường phân giác trong tam giác.
Dựa vào tính chất của ba đường phân giác trong tam giác.
Lời giải chi tiết:
$I$ là giao điểm của hai đường phân giác góc $B$ và góc $C$.
Vậy $I$ cũng là giao điểm của đường phân giác góc $A$ với góc $B$ và góc $C$.
Hay $AI$ là phân giác của góc $A$. Vậy x=30^o
$I$ là giao điểm của hai đường phân giác góc $B$ và góc $C$.
Vậy $I$ cũng là giao điểm của đường phân giác góc $A$ với góc $B$ và góc $C$.
Hay $AI$ là phân giác của góc $A$. Vậy x=30^o
Luyện tập vận dụng 3 trang 111
Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.
Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất của ba đường phân giác trong tam giác và tính chất của đường trung tuyến (đi qua trung điểm và vuông góc tại trung điểm).
Dựa vào tính chất của ba đường phân giác trong tam giác và tính chất của đường trung tuyến (đi qua trung điểm và vuông góc tại trung điểm).
Lời giải chi tiết:
Gọi $D$ là giao điểm của $I C$ và $M N$;
$E$ là giao điểm của $I A$ và $P N$;
$F$ là giao điểm của $I B$ và $P M$.
Ta có: Trong tam giác $A B C$, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay $I M=I N=I P$. Xét tam giác vuông $INC$ và tam giác vuông $IMC$:
$IC$ chung;
$$I N=I M$$
Vậy $\Delta I N C=\Delta I M C$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên $\widehat{M I C}=\widehat{N I C}$ ( 2 góc tương ứng).
Tương tự ta có:
$\triangle I P A=\Delta I N A$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên $\widehat{P I A}=\widehat{N I A}$ ( 2 góc tương ứng).
$\Delta I P B=\Delta I M B$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên $\widehat{P I B}=\widehat{M I B}$ ( 2 góc tương ứng).
Xét hai tam giác $I D N$ và $I D M$ có:
$ID$ chung;
$\widehat{N I D}=\widehat{M I D}$
$I N=I M$
Vậy $\Delta I D N=\Delta I D M$ (c.g.c)
$\Rightarrow D N=D M(2$ cạnh tương ứng);
$\widehat{I D N}=\widehat{I D M}$ ( 2 góc tương ứng)
Mà $\widehat{I D N}+\widehat{I D M}=180^{\circ}$ ( 2 góc kề bù)
$\Rightarrow \widehat{I D N}=\widehat{I D M}=180^{\circ}: 2=90^{\circ}$
Suy ra: $IC$ là đường trung trực của cạnh $M N$.
Tương tự ta có:
$I A$ là đường trung trực của cạnh $P N$; $I B$ là đường trung trực của cạnh $P M$.
Gọi $D$ là giao điểm của $I C$ và $M N$;
$E$ là giao điểm của $I A$ và $P N$;
$F$ là giao điểm của $I B$ và $P M$.
Ta có: Trong tam giác $A B C$, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay $I M=I N=I P$. Xét tam giác vuông $INC$ và tam giác vuông $IMC$:
$IC$ chung;
$$I N=I M$$
Vậy $\Delta I N C=\Delta I M C$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên $\widehat{M I C}=\widehat{N I C}$ ( 2 góc tương ứng).
Tương tự ta có:
$\triangle I P A=\Delta I N A$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên $\widehat{P I A}=\widehat{N I A}$ ( 2 góc tương ứng).
$\Delta I P B=\Delta I M B$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên $\widehat{P I B}=\widehat{M I B}$ ( 2 góc tương ứng).
Xét hai tam giác $I D N$ và $I D M$ có:
$ID$ chung;
$\widehat{N I D}=\widehat{M I D}$
$I N=I M$
Vậy $\Delta I D N=\Delta I D M$ (c.g.c)
$\Rightarrow D N=D M(2$ cạnh tương ứng);
$\widehat{I D N}=\widehat{I D M}$ ( 2 góc tương ứng)
Mà $\widehat{I D N}+\widehat{I D M}=180^{\circ}$ ( 2 góc kề bù)
$\Rightarrow \widehat{I D N}=\widehat{I D M}=180^{\circ}: 2=90^{\circ}$
Suy ra: $IC$ là đường trung trực của cạnh $M N$.
Tương tự ta có:
$I A$ là đường trung trực của cạnh $P N$; $I B$ là đường trung trực của cạnh $P M$.
Giải bài tập SGK bài 11 chương 7 Toán 7 Cánh diều tập 2
Những bài tập SGK ở cuối bài Tính chất ba đường phân giác của tam giác trang 111 sách Toán 7 Cánh Diều sẽ giúp các bạn vận dụng những kiến thức vừa học để giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Cùng HocThatGioi giải quyết những bài toán này nhé!
Bài tập 1 trang 111
Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB.
a) Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?
b) Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?
a) Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?
b) Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Dựa vào tính chất của ba đường phân giác trong tam giác: Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác.
b) Dựa vào chứng minh các cặp tam giác bằng nhau.
a) Dựa vào tính chất của ba đường phân giác trong tam giác: Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác.
b) Dựa vào chứng minh các cặp tam giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Trong tam giác $A B C$, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay $I M=I N=I P$.
Vậy các tam giác $IMN, INP, IPM$ có là tam giác cân tại $I$.
b) Xét tam giác vuông $I N C$ và tam giác vuông $I M C$ :
$IC$ chung;
$$I N=I M$$
Vậy $\Delta I N C=\Delta I M C$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra: $C N=C M$ ( 2 cạnh tương ứng).
Vậy tam giác $C M N$ có là tam giác cân.
Tương tự, ta có: $A P=A N ; B P=B M$.
Vậy các tam giác $A N P, B P M, C M N$ có là tam giác cân.
a) Trong tam giác $A B C$, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay $I M=I N=I P$.
Vậy các tam giác $IMN, INP, IPM$ có là tam giác cân tại $I$.
b) Xét tam giác vuông $I N C$ và tam giác vuông $I M C$ :
$IC$ chung;
$$I N=I M$$
Vậy $\Delta I N C=\Delta I M C$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra: $C N=C M$ ( 2 cạnh tương ứng).
Vậy tam giác $C M N$ có là tam giác cân.
Tương tự, ta có: $A P=A N ; B P=B M$.
Vậy các tam giác $A N P, B P M, C M N$ có là tam giác cân.
Bài tập 2 trang 111
Tam giác $A B C$ có ba đường phân giác cắt nhau tại $I$. Chứng minh:
a) $\widehat{I A B}+\widehat{I B C}+\widehat{I C A}=90^{\circ}$
b) $\widehat{B I C}=90^{\circ}+\frac{1}{2} \widehat{B A C}$.
a) $\widehat{I A B}+\widehat{I B C}+\widehat{I C A}=90^{\circ}$
b) $\widehat{B I C}=90^{\circ}+\frac{1}{2} \widehat{B A C}$.
Phương pháp giải:
a) Dựa vào tính chất của đường phân giác: chia các góc tại các đỉnh thành hai góc bằng nhau.
b) Dựa vào kết quả của phần a).
a) Dựa vào tính chất của đường phân giác: chia các góc tại các đỉnh thành hai góc bằng nhau.
b) Dựa vào kết quả của phần a).
Lời giải chi tiết:
a) $I$ là giao điểm của ba đường phân giác tại ba góc $A, B, C$ nên:
$\widehat{I A B}=\widehat{I A C}$
$\widehat{I B A}=\widehat{I B C}$
$\widehat{I C B}=\widehat{I C A}$
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{\circ}$ nên:
$\widehat{B A C}+\widehat{A C B}+\widehat{C B A}=180^{\circ}$
$\widehat{I A B}+\widehat{I A C}+\widehat{I B A}+\widehat{I B C}+\widehat{I C B}+\widehat{I C A}=180^{\circ}$
$2 \widehat{I A B}+2 \widehat{I B C}+2 \widehat{I C A}=180^{\circ}$
Vậy $\widehat{I A B}+\widehat{I B C}+\widehat{I C A}=90^{\circ}$
b) Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{\circ}$. Xét tam giác $BIC$ :
$\widehat{B I C}+\widehat{I B C}+\widehat{I C B}=180^{\circ}$
$\widehat{B I C}=180^{\circ}-(\widehat{I B C}+\widehat{I C B})$
Mà $\widehat{I A B}+\widehat{I B C}+\widehat{I C A}=90^{\circ} \rightarrow \widehat{I B C}+\widehat{I C A}=90^{\circ}-\widehat{I A B}$
$\widehat{B I C}=180^{\circ}-(\widehat{I B C}+\widehat{I C B})$
Vậy: $\widehat{B I C}=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\widehat{I A B}\right)$
$\widehat{B I C}=90^{\circ}+\widehat{I A B}$
Mà $\widehat{I A B}=\frac{1}{2} \widehat{B A C}$
$IA$ là phân giác của góc $B A C$
Vậy $\widehat{B I C}=90^{\circ}+\widehat{I A B}=90^{\circ}+\frac{1}{2} \widehat{B A C}$
a) $I$ là giao điểm của ba đường phân giác tại ba góc $A, B, C$ nên:
$\widehat{I A B}=\widehat{I A C}$
$\widehat{I B A}=\widehat{I B C}$
$\widehat{I C B}=\widehat{I C A}$
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{\circ}$ nên:
$\widehat{B A C}+\widehat{A C B}+\widehat{C B A}=180^{\circ}$
$\widehat{I A B}+\widehat{I A C}+\widehat{I B A}+\widehat{I B C}+\widehat{I C B}+\widehat{I C A}=180^{\circ}$
$2 \widehat{I A B}+2 \widehat{I B C}+2 \widehat{I C A}=180^{\circ}$
Vậy $\widehat{I A B}+\widehat{I B C}+\widehat{I C A}=90^{\circ}$
b) Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{\circ}$. Xét tam giác $BIC$ :
$\widehat{B I C}+\widehat{I B C}+\widehat{I C B}=180^{\circ}$
$\widehat{B I C}=180^{\circ}-(\widehat{I B C}+\widehat{I C B})$
Mà $\widehat{I A B}+\widehat{I B C}+\widehat{I C A}=90^{\circ} \rightarrow \widehat{I B C}+\widehat{I C A}=90^{\circ}-\widehat{I A B}$
$\widehat{B I C}=180^{\circ}-(\widehat{I B C}+\widehat{I C B})$
Vậy: $\widehat{B I C}=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\widehat{I A B}\right)$
$\widehat{B I C}=90^{\circ}+\widehat{I A B}$
Mà $\widehat{I A B}=\frac{1}{2} \widehat{B A C}$
$IA$ là phân giác của góc $B A C$
Vậy $\widehat{B I C}=90^{\circ}+\widehat{I A B}=90^{\circ}+\frac{1}{2} \widehat{B A C}$
Bài tập 3 trang 111
Tam giác $A B C$ có ba đường phân giác cắt nhau tại $I$ và $AB \lt A C$.
a) Chứng minh $\widehat{C B I}>\widehat{A C I}$;
b) So sánh $I B$ và $I C$.
a) Chứng minh $\widehat{C B I}>\widehat{A C I}$;
b) So sánh $I B$ và $I C$.
Phương pháp giải:
a) Góc đối diện với cạnh lớn hơn thì có số đo góc lớn hơn.
b) Cạnh đối diện với góc lớn hơn thì có số đo độ dài lớn hơn.
a) Góc đối diện với cạnh lớn hơn thì có số đo góc lớn hơn.
b) Cạnh đối diện với góc lớn hơn thì có số đo độ dài lớn hơn.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $AB \lt AC$ nên $\widehat{ABC} \gt \widehat{ACB}$ (góc $ABC$ đối diện với cạnh $AC$; góc $ACB$ đối diện với cạnh $AB$).
Mà $BI$ và $CI$ là hai đường phân giác của góc $A B C$ và góc $A C B$ nên: $\widehat{C B I}>\widehat{A C I}$
(Vì: $\widehat{C B I}=\frac{1}{2} \widehat{A B C} ; \widehat{A C I}=\frac{1}{2} \widehat{A C B}$ )
b) Ta có: $\widehat{A C I}=\widehat{B C I}$
Mà $\widehat{C B I}>\widehat{A C I}$ ( câu a)
Do đó $\widehat{CBI}>\widehat{BCI}$.
Mà $IC$ đối diện với góc $CBI$; $IB$ đối diện với góc $BCI$.
Vậy $IC \gt IB$ (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì có số đo độ dài lớn hơn).
a) Ta có: $AB \lt AC$ nên $\widehat{ABC} \gt \widehat{ACB}$ (góc $ABC$ đối diện với cạnh $AC$; góc $ACB$ đối diện với cạnh $AB$).
Mà $BI$ và $CI$ là hai đường phân giác của góc $A B C$ và góc $A C B$ nên: $\widehat{C B I}>\widehat{A C I}$
(Vì: $\widehat{C B I}=\frac{1}{2} \widehat{A B C} ; \widehat{A C I}=\frac{1}{2} \widehat{A C B}$ )
b) Ta có: $\widehat{A C I}=\widehat{B C I}$
Mà $\widehat{C B I}>\widehat{A C I}$ ( câu a)
Do đó $\widehat{CBI}>\widehat{BCI}$.
Mà $IC$ đối diện với góc $CBI$; $IB$ đối diện với góc $BCI$.
Vậy $IC \gt IB$ (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì có số đo độ dài lớn hơn).
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Giải SGK bài 11 chương VII Tam giác trang 108, 109, 110, 111 Toán 7 Cánh Diều tập 2. Hi vọng các bạn có một buổi học thật thú vị và tiếp thu được nhiều kiến thức bổ ích. Chúc các bạn học tốt!
